单循环的最佳时间复杂度？

Question

我有一个非常简单的问题，我有这个循环：

for (int i=0; i<n; i++) {
    "some O(n) stuff here)"
}

这个算法的最佳时间复杂度是多少？ O(n)？ （for 循环 O(1) * O(n) 东西） 或者 O(n^2)? （for 循环 O(n) * O(n) 循环内的东西）时间> for 循环本身是否会像往常一样被视为 O(n)，还是会被视为 O(1) 因为它只会在最好的情况下进行 1 次循环？

Answer 1

你是对的，如果“stuff”的最佳运行时间是恒定的（甚至为零），那么最好的时间复杂度是 O(N)（甚至是 Θ(N)）。

无论如何，如果已知“stuff”是最好的情况 Ω(f(N))，那么最好的总时间是 Ω(N f(N))。

Answer 2

如果您的循环正在执行O(n) 的工作n 次，那么时间复杂度将为O(n^2)。你可以称之为最坏的情况。最佳情况和平均情况将基于您的some O(n) stuff，该some O(n) stuff 在您的循环的每次迭代中执行。

让我们举一个冒泡排序算法的简单例子：

    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
            if (a[j] > a[j + 1]) {
                swap(&a[j], &a[j + 1]);
            }
        }
    }

时间复杂度将始终为O(n^2)，无论数组是否排序（不考虑顺序 - 升序或降序）。

但这可以通过观察n^th 传递找到n^th 最大元素并将其放入最终位置来优化。因此，内部循环可以避免在运行 n^th 时间时查看最后的 n − 1 项：

    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        swapped = false;
        for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
            if (a[j] > a[j + 1]) {
                swap(&a[j], &a[j + 1]);
                swapped = true;
            }
        }
        if (swapped == false) {
            break;
        }
    }

现在最好的情况时间复杂度是O(n)，即当数组按升序排序时（在上述实现的上下文中）。平均和最坏情况仍然是O(n^2)。

因此，要确定算法的最佳情况时间复杂度，您必须向我们展示some O(n) stuff 的实现，如果没有实现，那么至少展示您尝试实现的算法。

Answer 3

正如你所说，它是 O(n^2)。 因为你做了 n 次 O(n) 操作。