使用动态规划找到最大间隔

Question

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/teaching/algorithms/notes/05-dynprog.pdf 我在练习这些问题时遇到了一个难倒我的问题。

7.(a) 假设给定平面中的一组 L，由 n 个线段组成，其中每个线段在 y = 0 线上有一个端点和一个端点 在 y = 1 线上，所有 2n 个端点都是不同的。描述和 分析一种算法来计算 L 的最大子集，其中没有 一对线段相交。

(b) 假设给定平面上的 n 个线段集合 L， 其中每条线段的端点位于单位圆上 x 2 + y 2 = 1，并且所有 2n 个端点都是不同的。描述和分析一个 计算 L 的最大子集的算法，其中没有一对 段相交。

我想出了如何在 O(n log n) 时间内完成 7a（问题是寻找递增数字的最大子集的变相问题）。我几乎要放弃 7b，因为我想不出办法。

但是，有没有办法将 7b 的前提转换为更像 7a 的前提？我觉得这是解决问题的正确方法，如果能帮助解决这个问题，我们将不胜感激。

Answer 1

我想不出一个 O(n*log(n)) 的算法，但这里是一个 O(n²) 的算法。

我们的想法是，我们构建一个有向图，其中顶点表示给定集合中的段，边表示“位于右侧的”关系。

令 L 为段列表：{(a₁, b₁), (a₂, b₂ ), ..., (a_n, b_n)}，其中 a_k 和 b_{k 是第 k 个段的端点。}

令 L' 为段列表：{(a₁, b₁), (b₁, a ₁), (a₂, b₂), (b₂, a₂) , ..., (a_n, b_n), (b_n, a_n)}。

设图的顶点有1到2*n的索引，每个索引k代表线段L'[k]，即(a_k/2, b_{k/ 2}) 如果 k 是奇数， (b_k/2, a_k/2) 如果 k 是偶数。

段(a₁, b₁) 位于段(a₂, b₂) 当点 a₁, a₂, b₂, b₁ 是在单位圆上按顺时针顺序排列。

请注意 1) 如果一个线段位于另一个线段的右侧，它们不会相交； 2) 如果来自 L 的两个线段不相交，则来自 L' 的四个对应线段中的两个必然位于另一个的右侧； 3) L 中任何一组不相交的线段都由 L' 的一系列线段定义，每个线段位于前一个线段的右侧。

算法概述：

for every k1 from 1 to 2*n:
    for every k2 from 1 to 2*n:
        if (L'[k1].a, L'[k1].b) lies to the right of (L'[k2].a, L'[k2].b):
            add a directed edge (k1, k2) to the graph 
Find the longest path in the graph: (k1, k2, ..., km). 
The answer to the problem is: (k1/2, k2/2, ..., km/2).

Answer 2

这是一个 O(n²) 算法。

我们在圆上有 2n 个端点。选择任何点并开始按顺时针方向从 1 开始按递增顺序标记这些点。因此，我们将点标记为从 1 到 2n。因此，任何线段 l 都可以表示为 (i,j)，其中 i 和 j 是l 和 1≤i.

令 L_i,j 是 L 的子集，使得 l=(a,b) ∈ L_i,j 如果 i ≤ a 。另外，将 1 ≤ i ≤ j ≤ 2n 的 D[i,j] 定义为 L_{i 中的最大不相交线数， j}。我们需要找到D[1,2n]。

我们在这里使用动态规划。如果 ( i,i+1) 为线段，否则设为0。我们可以使用以下代码构建 D：

if (i,j) is a line segment :
     D[i,j] = D[i+1,j-1]+1
else if (i,k) is a line segment and i<k<j :
     D[i,j] = max(D[i,j] , D[i+1,k-1]+D[k+1,j]+1)
else if (k,j) is a line segment and i<k<j :
     D[i,j] = max(D[i,j] , D[i,k-1]+D[k+1,j-1]+1)
else :
     D[i,j] = max(D[i,j] , D[i+1,j-1])

由于 D 占用 O(n²) 空间，并且我们在恒定时间内计算 D 的每个单元格，因此算法的时间复杂度为O(n²).

参考： http://www.cs.toronto.edu/~robere/csc373h/files/A2-sol.pdf

查看标题Line Intersections (Redux)

Answer 3

创建两个列表。第一个列表具有通过从 (1,0) 开始围绕圆逆时针扫描创建的排序。您点击的段的第一个端点被标记。第二个列表的顺序相同，但围绕圆圈顺时针方向排列。以这种方式，您现在有两个列表，其中段端点显示交集的排序。例如，如果第一个列表中的第一个点在第二个列表中没有对应的端点，那么它将与第二个列表中出现在它之前的所有线段相交。 （您需要在这里小心，因为一条线的两个点都可以在您的段的结尾之前。一个简单的检查消除了这一点。）然后您可以运行该列表。这种方法的总复杂度似乎是每个列表创建的 O(n log n) 和运行列表的 O(n)。