大线性规划的逼近答案

【问题标题】：Approximation to Large Linear Program大线性规划的逼近
【发布时间】：2013-04-24 04:46:24
【问题描述】：

我有一个带有线性约束的简单 LP。有很多决策变量，大约 2400 万个。我一直在 R 中使用 lpSolve 来处理小样本，但是这个求解器不能很好地缩放。有没有办法得到 LP 的近似解？

编辑：

问题是调度问题。有 100 万人需要安排到 24 小时之一，因此有 2400 万个决策变量。将人 $i$ 安排到小时 $j$ 有奖励 $R_{ij}$。约束是每个人都需要被安排到某个小时，但每个小时只有有限数量的预约空档$c$

【问题讨论】：

【解决方案1】：

处理具有大量变量和约束的 LP/IP 的一个好方法是寻找以某种逻辑方式对决策变量进行分组的方法。由于您只给出了问题的草图，因此这里有一个解决方案。

方法 1：将人员分成更小的批次

不要把 100 万人想象成 100 个单位，每个单位有 10000 人。所以现在你只有 2400 (24 x 100) 个变量。这将使您成为其中的一部分，并注意这不是最佳解决方案，而是一个很好的近似值。你当然可以做1000批1000人，得到更细粒度的解决方案。你明白了。

方法 2：根据成本分组为同类群组

看看你的 R_ij。大概你没有一百万种不同的成本。通常只有几个独特的成本值。这个想法是将许多具有相同成本结构的人组合成一个“队列”。现在你解决了一个小得多的问题 - 哪些队列进入了哪个小时。

同样，一旦你有了这个想法，你就可以让它变得非常容易处理。

更新基于 OP 的评论：就其本质而言，创建这些组是一种近似技术。无法保证会获得最佳解决方案。然而，仔细分组的整个想法（通过查看具有相同或非常相似成本结构的群组）是为了获得尽可能接近最优的解决方案，而计算工作量要少得多。

希望能帮助你朝着正确的方向前进。

【讨论】：

我如何解释每小时都有有限数量的预约空档的约束？假设每个小时有 100,000 人的空间，而 A、B 和 C 人（属于第 X 批）真正的最佳时间是中午。然后，如果我们不能将所有批次 X 放入中午约会中，则 A、B 和 C 将不会被安排到它们的最佳时间。对吗？
@JCWong 是的，这是正确的。分组是一种近似技术。我正在更新我的回复以解决您提出的问题。

【解决方案2】：

假设你有很多重复的人，你现在使用的变量太多了。

假设你只有 1000 种不同的人，其中一些人出现 2000 次，而另一些人出现 500 次。

然后，您只需优化每小时分配给的人员比例。（请注意，您必须通过添加 2000 或 500 作为常数来稍微调整目标函数和约束）

好消息是，这应该会为您提供仅包含“几个”变量的最佳解决方案，但根据您的问题，您可能需要对结果进行四舍五入以获得整个人作为结果。

【讨论】：