如何在MATLAB中获得LP的最佳基矩阵B？答案

【问题标题】：How to obtain optimal basis matrix B for LP in MATLAB?如何在MATLAB中获得LP的最佳基矩阵B？
【发布时间】：2017-12-04 13:56:49
【问题描述】：

我正在解决一个标准的 LP 问题：

min C'*x
S.t. A*x=b;x>=0;

通过linprog得到解后，我想得到那个解对应的最优基B。 MATLAB 提供以外的单纯形代码对于大规模问题非常慢。

我的问题是退化。

【问题讨论】：

Cplex、Gurobi、Xpress 或 Mosek 等求解器在大型问题上比 Matlabs linprog 慢吗？那真是令人惊讶。无论如何，几乎所有 LP 求解器都会返回基础状态数组。
我说的是在 MATLAB 中完成的单纯形代码。我猜 CPLEX 不返回基础索引数组。如果是这样，我怎样才能获得它？
是的。请查阅文档。

【解决方案1】：

非退化 LP 的最优基由 lambda = 0 给出，其中 lambda 是拉格朗日乘数。在 MATLAB 中，lambda 可用作最终输出，即

[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(___)

所以要找到基础，只需输入k = find(lambda == 0)。

但是，从数值的角度来看，零的值是有问题的（在浮点算术中几乎没有什么是完全 0），因此您可能想要满足于k = find(lambda <= 1e-5) 之类的东西。但是，同样，根据问题（以及它的表现如何），这也可能不正确。

那么，你能做什么？基本上有两种解决方法：

使用商业求解器：商业求解器往往在拉格拉吉乘子的准确性方面要好得多，尤其是对于定义不明确的问题。试试 Gurobi 或 CPLEX，如果你是大学生，无论如何它们都是免费的。他们有类似的方法来获取 lambda，但根据我的经验，它们更可靠。
使用约束值：你基本上做k = find(x > 1e-5)，看看它给你的结果。这遭受与使用拉格朗日相同的挫折，但它可能会有所帮助。

但是，如果发生原始退化和双重退化，您仍然需要处理它。不要过多投入，但基本上您需要始终检查您是否有确切的n 活动约束（n 是优化变量的数量）。如果你有更多或更少，你就有问题，你需要在你的代码中进行适当的检查。

【讨论】：

其实我的问题确实退化了。我尝试了 Meggido 的算法来获得基础，但由于我的编程风格，我猜这需要太多时间，即使是 1000x1000 的问题也是如此。是否有任何求解器提供最佳基础？
使用 Gurobi 或 CPLEX，然后尝试。检查解决方案中的非零变量。
我已经尝试过 CPLEX，但是，lambda 值的零个数小于变量数。
那么你需要重新审视你的问题表述。要么你有数值问题（缩放，接近零的东西等），要么你必须适当地分析一些结构退化。一种常见的方法是进行敏感性分析（即稍微改变你的系数 b 和 c），看看会出现什么解决方案。