线性规划中的 if 语句

Question

我有两个变量a >= 1和b = {0, 1}，所以a是一个整数正变量/=0，b 是二元变量。我想在a=1时制作b=1，当a>1时制作b=0，并且我需要把它写成一个线性程序。所以条件是：

if a=1 then b=1 else b=0

相当于：

if a<2 then b=1 else b=0

因为a由于其他约束不能为0。

有人知道如何用线性程序编写它吗？

Answer 1

OP，只要 M 大于正整数 a 的任何可能值，您在评论中建议的答案是正确的，即：

a = b+2y； b+y = 1，其中y是二进制

为了确认，我们只需检查这组陈述以证明 (1) 预期结果是可行的， (2) 所有其他结果都是不可行的。由于在这种情况下 b 是一个二元变量，因此“所有其他结果”仅表示其他结果：b=0 与 b=1。

---

证明

(a = 1) => (b = 1)

首先，考虑条件：

如果 a=1 则 b=1

让 a=1 在您的建议答案中，获得：

1 <= b+My; 1 >= b+2y; b+y = 1

显然，b=1 是可行的，因为我们可以找到一个 y 值，它允许所有的陈述都为真（即 y=0）：

1 <= 1+M*0; 1 >= 1+2*0; 1+0 = 1

另一方面，如果我们让 b=0：

1 <= 0+My; 1 >= 0+2y; 0+y = 1

这意味着 y=1，这在第二个陈述中导致矛盾：

1 <= 0+M*1; 1 >= 0+2*1; 0+1 = 1

因此，如果a=1，那么它一定是b=1。

---

(a > 1) => (b = 0)

接下来，考虑先验条件的contrapositive（以满足“else”子句）：

如果 a>1 则 b=0

按照相同的程序，让 a>1 在您建议的答案中 - 我会输入 5，但请记住，这可以是大于 1 的任何整数：

5 <= b+My; 5 >= b+2y; b+y = 1

我们看到 b=0 是可行的，因为我们可以找到一个 y 的值，使所有的陈述都为真（即 y=1）：

5 <= 0+M*1; 5 >= 0+2*1; 0+1 = 1

（这是重要的一点，即 M 大于 a 的任何可能值，否则第一条语句可能不正确。）

另一方面，如果我们让 b=1：

5 <= 1+My; 5 >= 1+2y; 1+y = 1

这意味着 y=0，这在第一个不等式中导致矛盾：

5 <= 1+M*0; 5 >= 1+2*0; 1+0 = 1

因此，如果a>1，那么它一定是b=0。

---

结论

因此，这组语句

a <= b+My; a >= b+2y; b+y = 1, where y is binary

满足条件：

如果 a=1 则 b=1 否则 b=0

Answer 2

C++ 中的一个例子：

#include <iostream>

int main()
{
    // declare variables at top...
    int a = 1;
    int b = 0;

    // then some code that changes the initial value of a...

    // code to check the value of a and change the value of b...
    if (a == 1) {
        b = 1;
    } else if (a > 1) {
        b = 0;
    }

    // output value of b
    std::cout << "Value of b: " << b << std::endl;

    return 0;
}