最大加权段覆盖算法

Question

这是我自己想到的算法问题，但我自己想不出一个简单的解决方案。

这个问题的灵感来自于合并两个著名的问题：Minimum segment coverage & Knapsack problem，描述如下：

给定n 段[l_i, r_i]，其中所有l_i, r_i in [1,M]。 n, M 是已知的。

每个段都有一个值v_i，如果您可以选择任意数量的非重叠段，您可以获得的最大总价值是多少？ （触摸没问题）

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我有一种强烈的感觉，我的想法过于复杂 但现在我脑海中的解决方案是使用动态编程，就像我们解决背包一样。

1. 按r_i升序对段进行排序
2. 定义DP(i) := maximum value we can get using segment [0,i]，这里的索引是第1步之后的排序索引
3. DP(i) = max(DP(j) + v[i], DP(i-1))j is the largest index where r_j <= l_i, which can be found using binary search

我认为这个解决方案是O(N lg N)。现在我的问题是：

1. 这个解决方案正确吗？
2. 有没有更简单、性能更好的解决方案？

Answer 1

段覆盖率可以用一个名为interval graph 的图表来表示。由于您不想采用两个重叠的段，因此您正在寻找在区间图中找到最大加权独立集。这个问题在一般图上是 NP-hard，但幸运的是，它可以在区间图上轻松解决。如果您查看GraphClasses website，您会发现该问题可以在线性时间内解决，即使对于弦图（它是比区间图更大的类），您可以参考original paper 来证明这一点.