用一个给定半径的圆覆盖最大点数的算法答案

【问题标题】：Algorithm to cover maximal number of points with one circle of given radius用一个给定半径的圆覆盖最大点数的算法
【发布时间】：2011-03-14 20:30:49
【问题描述】：

假设我们有一个平面，上面有一些点。我们还有一个给定半径的圆。

我需要一种算法来确定圆的位置，使其覆盖最大可能的点数。当然，这样的位置很多，所以算法应该返回其中一个。
精度并不重要，算法可能会犯一些小错误。

这是一个示例图片：

输入：
int n (n float x[n] 和 float y[n] – 具有点 X 和 Y 坐标的数组；
float r – 圆的半径。

输出：
float cx 和 float cy – 圆心坐标

算法的闪电速度不是必需的，但不应该太慢（因为我知道一些针对这种情况的慢速解决方案）。

C++ 代码是首选，但不是强制性的。

【问题讨论】：

你对积分的分配没有限制？
这听起来很棒codegolf
@bobobobo 我真的不这么认为。很无聊，没有确切的获胜条件……但请随意提出这样的问题。

标签： c++ algorithm geometry points

【解决方案1】：

按照建议修改为更好的措辞：

基本观察：

我假设半径是 1，因为它不会改变任何东西。
给定任意两点，它们所在的单位圆上最多存在两个单位圆。
为您的问题提供一个解决方案圈，您可以移动它直到它包含您的集合中的两个点，同时在其中保持您的集合中相同数量的点。

那么算法是：

对于每对点，如果它们的距离
计算你的集合在 C1 和 C2 内的点数
尽最大努力。

【讨论】：

我喜欢这个解决方案。它可能是我需要的……但我不确定它是否总是正确的
你能解释一下 Alex 的基本原理吗？
点数是O(n^3)。您可以通过计算我认为的一个行列式来检查 C 是否在通过 A 和 B 的半径为 1 的圆内（具有一个规定的方向）。但请注意舍入错误，它们真的会破坏这种算法。
我没有注意到你的回答:(，写的完全一样，有点解释。
@IVlad：对于每两个相距正好相距 2r，则只有一个圆。）关于这两个点，这些圆是“最佳的”：由于这些点位于圆的边界上，因此圆覆盖最大的额外空间（可能还有更多点）。遍历所有点对会为您提供所有可能的圆，其中 >= 2 个点。检查这些圆圈中每个圆圈包含的点数，然后选择数字最高的一个圆圈。

【解决方案2】：

这是文献中的“磁盘部分覆盖问题”——它应该为您提供一个开始谷歌搜索的好地方。这是一篇涵盖一种可能解决方案的论文，但它在数学上有点紧张：Approximation Algorithms Design for Disk Partial Covering Problem

事实上，这属于称为计算几何的领域，这很吸引人，但很难站稳脚跟。deBerg 对与该主题相关的各种算法进行了很好的概述。

【讨论】：

我觉得算法不能用在这种情况下，因为我只有一个圈
在你的情况下，论文的“k”是1。

【解决方案3】：

如果您想要一些简单的东西，请随机取 (x,y) 位置，计算圆内的点数并与之前的位置进行比较。取最大值。随时重复该操作。

为什么要投反对票？听说过蒙特卡洛方法吗？实际上对于大量的点，确定性算法可能无法在合理的时间内完成。

【讨论】：

@maxwellb：“精度不重要，算法可能会犯一些小错误”
合理时间也用与给定点数的关系来表示。例如，O(n^3) 表示算法完成的时间与点数的立方成正比。通常，算法的“合理”时间是：多项式（n^3，n^8，n^k）：OK，线性（n，或 3n，（1/9）n，kn，都是 n）：很好，对数：太棒了。
很公平，我认为你的观点是正确的，所以我没有投反对票。干杯。
对于我的情况，这个解决方案还不错
一个好的蒙特卡洛算法可以将错误概率绑定为某个参数的函数（例如，在您的情况下，迭代次数）。我在您的解决方案中没有看到任何此类分析。

【解决方案4】：

这里有两个想法：一个 O(n) 近似算法和一个 O(n^2 log n) 精确（非近似）算法：

快速逼近

使用局部敏感散列。基本上，将每个点散列到包含所有附近点的散列桶中。桶的设置使得冲突只发生在附近的点之间——与名称相似的哈希表不同，冲突在这里很有用。记录一个桶中的碰撞次数，然后以该桶的中心为圆心。

我承认这是对一个概念的快速解释，当你第一次听到它时，它并不是很明显。一个类比是问一群人他们的邮政编码是什么，并使用最常见的邮政编码来确定人口最多的圈子。它并不完美，但却是一种很好的快速启发式方法。

就点数而言，它基本上是线性时间，您可以即时更新您的数据集，以在每个点的恒定时间内（相对于 n = 点数恒定）逐步获得新答案。

优于蛮力的确定性方法

这个想法是：对于每个点，将一个圆的边缘放在那个点上，然后将圆扫一圈，看看哪个方向包含的点最多。对所有点执行此操作，我们会找到全局最大值。

可以通过以下方式在 n log n 时间内完成围绕点 p 的扫描： (b) 对区间进行排序，以便我们可以在线性时间内围绕 p 行进/扫掠。

因此需要 O(n log n) 时间来找到接触固定点 p 的最佳圆，然后将其乘以 O(n) 以执行所有点的检查。总时间为 O(n^2 log n)。

【讨论】：

【解决方案5】：

问题回到寻找函数f:R x R -> N的全局最优值。 f 的输入是圆的中心点，值当然是集合中包含的点数。该函数的图形将是不连续的，类似楼梯的。

您可以首先在与集合中的一个点对应的每个点中测试函数，通过减小 f 的值对这些点进行排序，然后围绕这些点加强搜索（例如沿着螺旋）。

另一种选择是考虑连接集合中任意点对的线段的所有个交点。我认为您的最佳点将位于这些交叉点之一，但它们的数量可能太大而无法考虑。

您也可以混合选项 1 和 2，并考虑从“良好设置点”周围的点生成的线段的交点。

无论如何，除非设定点的数量很少（允许您检查所有交叉点），否则我不认为您可以保证找到最佳值（只是一个好的解决方案）。

【讨论】：

我可以看到相同的答案总共发布了三遍 - 可能是错误的。你能删除它的两个实例吗？
完成。 SO技术问题:-)
分数很低（我刚刚编辑了问题）。但我不明白一些事情，比如......你怎么能制作一个 2 参数函数的图表？
离散值函数的最小化是非常困难的。
@Philipp 好吧，我认为在一般情况下，实际上只有线性（非整数）是易于处理的。但我们离题了:-)

【解决方案6】：

乍一看，我会说四叉树解决方案。

此外，还有一种称为 K-means 的信息可视化/数据挖掘方法，它可以对给定数据进行聚类。它最终可以与附加功能一起使用，以满足您的目的。

K-Means 的基本算法是：

将 K 点放入项目所代表的空间中正在聚类的 - 这些点代表初始组质心
将每个数据项分配给最接近的组质心
分配完所有项目后，重新计算通过计算点的平均位置来计算 K 质心的位置
重复第 2 步和第 3 步，直到质心不再移动或移动很少

添加的功能将是：

计算圆内位于 K 质心的点数
选择最适合您的一款 ;)

来源：
K-means 算法 - Linköping University
四叉树 - en.wikipedia.org/wiki/Quadtree

在维基百科上快速搜索，您会找到源代码：en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering

【讨论】：

【解决方案7】：

如果确实精度并不重要并且算法可能会犯一些小错误，那么我认为如下。

设f(x,y) 是一个在点 (0,0) 处有最大值且仅在半径为 R 的圆内的点处有效的函数。例如，f(x,y) = e^{(x^2 + y^2)/ (2 * R^2)}。

设(x_i,y_i) 为点，E_i(x,y) = f(x - x_i, y - y_i)。

你的问题是找到\sum_i E_i(x,y)的最大值。

您可以使用从每个点开始的梯度下降。

【讨论】：

我是 15 岁的孩子。我喜欢编程，但我不喜欢数学。所以我经常不明白这些聪明的数学东西:)
@BlaXpirit，如果你不太懂数学，你可以通过编程获得很多成就。但是要有效地解决和理解您发布的任务的解决方案，您应该在数学方面做得更好。（顺便说一句，Alexey 也在使用 LaTeX 表示法来编写数学函数，它与数学无关，但您最好了解其中之一）
@Alexey，如果f 是1 inside the circle, and 0 outside，那将是绝对正确的。 :-)
@Pavel，对于不可微函数的情况，梯度下降无法正常工作。
@Pavel，我也敢肯定。我以If it is true that precision is not important... 开始回答。

【解决方案8】：

我可以推荐一张密度图吗？找到 x 和 y 的最小和最大界限。将 x 和 y 边界的范围划分为宽度等于圆直径的箱。分别计算 x 和 y 的每个 bin 中的点数。现在在密度图上找到排名最高的 x bin 与排名最高的 y bin 之间的交集。

这是一种非常快速的算法，可以快速泛化大型数据集，但它并不总是准确的，为了提高准确性，您可以将 bin 切成越来越小的块，或者将 bin 位置向左或向右移动 n 次，然后使用投票系统来选择试验之间最常出现的答案。

【讨论】：

我有非常小的数据集，而不是大数据集。所以这里不正确

【解决方案9】：

您可以对整个区域进行像素化，然后转到每个点并增加围绕该点的半径圆内所有像素的值。总和最高的像素是很好的候选。

当然，由于舍入误差，您可能会丢失一些好的区域或“幻觉”好的区域。或许您可以尝试先进行粗略的像素化，然后细化有希望的区域。

【讨论】：

【解决方案10】：

这是著名的 K-最近点算法。此处描述：http://www.cs.ucsb.edu/~suri/cs235/ClosestPair.pdf

【讨论】：

不，不是。你可以有一个以不集合的一部分为中心的最佳圆。
你现在做 :-) 继续问有趣的问题！
@BlaXpirit 如果答案不正确，请取消选择它作为已接受的解决方案。