依赖循环的复杂性

【问题标题】：Complexity of dependant loop依赖循环的复杂性
【发布时间】：2014-06-08 19:08:46
【问题描述】：

2我开发了一种算法，我正试图以最详细的方式记录它的时间复杂度，但我遇到了一个问题。

算法是这样的：

for i=0:n {
    task 1;
    task 2;
    for j=0:i {
        task 3;
    }
    task 4;
}

所以我通过说任务 1 的复杂性为 O(t1), ... 来记录我的复杂性但是当我试图解释任务 3 时，我被卡住了，因为它基本上会执行 i 次，我打算说算法的复杂度是任务 1 + 任务 2 + i * 任务 3 + 任务的复杂度的 n 倍4. 由于我将依赖于 n，我真的不知道什么是呈现事物的最佳方式。

我知道如果不存在任务 1、2 和 4，那么复杂性将是 O(n^2)。但我不知道如何与我之前的解释保持一致。

我希望这是有道理的，谢谢你的帮助。

【问题讨论】：

任务 3 将被执行 1+2+3+.. +n = n*(n+1)/2 次。所以任务 3 的时间复杂度只有 O(n^2)。

标签： algorithm loops complexity-theory

【解决方案1】：

最简单的方法可能是分别计算。

任务 3 被执行：1+2+3+...+n = n(n+1)/2 次。

任务 1、2 和 4 分别执行 n 次。

所以（假设每个任务需要O(1)）我们的复杂度为

O(n(n+1)/2 + 3n) = O(n²/2 + n/2 + 3n) = O(n²)

（在大 O 表示法中可以忽略常数因子和渐近较小的项）。

更一般地说（如果每个任务不一定需要O(1)），我们可以说复杂性是：

O(t3*n² + n*(t1 + t2 + t4))

其中ti 表示任务i 需要多长时间。

【讨论】：