具有 log n 复杂度的外循环的两个依赖 for 循环的复杂度

Question

问题

计算这个算法的复杂度：

 for(i=n; i>1;i=i/2)
   for(j=i;j<n;j++){
         statement;
   }

我之前在这个话题上做了什么：

第一个循环运行 logn 次。 第二个循环运行 n-i 次， i 从 n 开始，并在每次外循环迭代中更改为 i/2。所以内部循环是这样运行的：

n-n                             0 times

n - n/2                        n/2 times

n - n/4                        3n/4 times

n - n/8                        7n/8 times

n - n/16                     15n/16 times

以此类推直到

n - 1次

所以总称是n * ((2^n)-1)/(2^n)

现在这个序列既不是算术也不是几何。所以n/2 * (a+l)的公式不能应用在它上面。我该如何进一步处理这个解决方案，或者如果它是错误的，那么正确的方法是什么。

注意：如果应用n/2*(a+l)，则生成的复杂度为-n/(2^n) = O(2^n).

Answer 1

首先计算

A := (n - n)  + (n - n/2) + (n - n/4)  + ... + (n - n / 2^logn) = 
     log n * (n) - n * (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... 1 / 2 ^ logn)
A > log n * (n)  - n * (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... + 1 / 2^infity) =
     logn * n - n = n(logn - 2)
A < log n * (n)

如您所见，我已将您要计算的表达式分配给A。根据最后两个不等式，您的算法的复杂性是thetha(n logn)

这里我使用了众所周知的几何级数(1 + 1/2 + 1/4 + .....) = 2

Answer 2

你在正确的轨道上。正如您所提到的，内部循环将运行log n 次。所以，它运行的总次数是：

    (n - n/2) + (n - n/4) + ... (log n) times
  = n*(log n) - (n/2 + n/4 + n/8 + ... up to 1)
  = n*(log n) - n*(1/2 + 1/4 + ...)
 <= n*(log n) - n because (1/2 + 1/4 + ...) is 1 even if we take all terms till infinity (G.P)
  = n(log n - 1), which is O(n*log(n))

请记住，在计算复杂度时，您总是在寻找上限，而不是确切的数字。

Answer 3

语句运行的确切次数是 nlogn - 2n(1-1/2^logn)