对于计算次数随 n 波动的递归函数，Big-O 复杂度是多少？答案

【问题标题】：What will be Big-O complexity for a recursive function whose number of calculations oscillate with n?对于计算次数随 n 波动的递归函数，Big-O 复杂度是多少？
【发布时间】：2019-10-18 12:22:22
【问题描述】：

我有一个找到指数的函数，但我对函数的复杂性感到困惑。

功能：

def expo(number, exponent):
    if exponent == 0:
        return 1
    elif exponent % 2 == 0:
        val = expo(number, exponent / 2)
        return  val * val
    else:
        return number * expo(number, exponent - 1)

我尝试根据指数计算并绘制计算次数的图表并得到以下结果： 图表： 指数：计算：

1：2、2：3、3：4、4：4、5：5、6：5、7：6、8：5、9：6、10：6、11：7、12：6 , 13:7, 14:7, 15:8, 16:6, 17:7, 18:7, 19:8, 20:7, 21:8, 22:8, 23:9, 24:7, 25 : 8, 26: 8, 27: 9, 28: 8, 29: 9, 30: 9

正如您所见，计算次数在波动，我认为 Big-O 表示法不会是线性的或二次的。我认为它会像一个多度多项式，具有类似的表示

我是对的还是我对 O(n) 表示法有错误的想法？

【问题讨论】：

这看起来像快速求幂算法，复杂度为 O(log(n))：en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring
也许您应该以对数刻度绘制横坐标以获得一些见解。
@pLOPeGG 是的，我认为这是相同的算法，虽然我不明白复杂度是如何计算的，但它仍然回答了我的问题，谢谢

标签： python algorithm big-o complexity-theory

【解决方案1】：

这是一种众所周知的算法，称为快速求幂（有时是平方和乘法），其复杂度为O(log(n))。维基百科有一整页：https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring

但如果您不知道这些信息，一种想法是重写您的算法，以便您可以轻松找到递推公式。主要困难是应用于奇数和偶数的不同程序。诀窍是将它们组合在一起并仅进行一次递归调用。

def expo(number, exponent):
    if exponent == 0:
        return 1
    elif exponent % 2 == 0:
        val = expo(number, exponent / 2)
        return  val * val
    else:
        return number * expo(number, exponent - 1)  # exponent - 1 is even !

可以改写

def expo(number, exponent):
    if exponent == 0:
        return 1
    elif exponent % 2 == 0:
        val = expo(number, exponent / 2)
        return  val * val
    else:
        return number * expo(number, (exponent - 1) / 2) ** 2

现在您可以看到，在算法的每一步，exponent （大致）除以 2（这不再取决于其奇偶性），因此复杂度为 log(n)。

【讨论】：

【解决方案2】：

首先，您可以考虑最坏情况的算法。因此，如果T(n) 是算法的时间，最坏的情况是T(n) = T(n-1) + c（c 是一个常数，用于比较、求和、调用函数……）。因此，T(n) = O(n)。

另外，声明I think O(n) will not be linear or quadratic 没有意义。如果一个函数在O(n) 中，则意味着它最多是线性的。因此，它不可能是二次的。

现在您可以更仔细地检查时间复杂度计算，并尝试找到复杂度的严格界限。因为，至少在两次连续递归中，我们将得到 exponent 的偶数值（因为我们有 -1，如果 exponent 是奇数），因此，exponent 达到 1，与最多 2 log(n) 的计算（因为指数将至少在每 2 次连续递归中除以 2）。因此，T(n) 的紧界是O(log(n))。

【讨论】：

是的，你是对的 O(log(n))