确定for循环的时间复杂度？

Question

我有循环

sum = 0 ;
    for ( i = n ; i > 0; i = i/3 )
        for ( j = 0 ; j < n^3 ; j++ )
              sum++ ;

我必须以大 theta 表示法计算时间复杂度，但第一个循环中的 i/3 让我感到困惑。

Answer 1

在普通数学中，这个循环永远不会终止。 O(inf)。在离散数学中，它是 O(n^3)。

外循环...

for ( i = n ; i > 0; i = i/3 )

当 i 大于 0 时循环运行。如果 i 为正数，将 i 减少三分之一将永远不会使 i 低于 0 变得越来越小。

如果 i 是 IEEE 浮点数，根据浮点数的大小，经过多次迭代后，它最终会达到 0。

如果数字被假定为整数（我认为您使用离散数学标签提出的问题），则外部循环为 O(log(n))，因为 i 每次迭代都会被削减三分之一并且将迅速达到0。

独立的内部循环很容易被视为 O(n^3)。

for ( my $j = 0; $j < $n**3 ; $j++ ) {
    $sum++;
}

O(log(n)) 循环内的 O(n^3) 循环是 O(n^3 log(n))，这与 O(n^3) 的增长曲线没有显着不同。