图中最短路径的数量

Question

我需要使用 BFS 找到图的两个节点之间的所有路径的数量。我想我的问题的答案可以在这里找到：

How to find the number of different shortest paths between two vertices, in directed graph and with linear-time?

但我不太明白。有人可以把算法写下来，以便我更好地理解它吗？

Answer 1

假设您需要从 src 转到 dest。

对于每个顶点 x，关联两个值 count 和 val，其中 count 是从 src 到 x 的最短路径的数量，val 是从 src 到 x 的最短距离。还要维护一个visited 变量来判断这是否是第一次访问该节点。

应用通常的 BFS 算法，

Initialize u = src
visited[u] = 1, 
val[u] = 0
count[u] = 1
For each child v of u,
    if v is not visited 

第一次访问一个节点，从src到现在通过u只有一条路径，所以到v的最短路径是（1+到u的最短路径），通过shortest到达v的路径数path 与 count[u] 相同，因为假设 u 有 5 种方式从源到达，那么只有这 5 种方式可以扩展到 v，因为 v 第一次通过 u 遇到，所以

val[v] = val[u]+1,    
count[v] = count[u], 
visited[v] = 1
    
if v is visited

如果 v 已经被访问过，这意味着存在通过其他一些顶点到达 v 的其他路径，那么会出现三种情况：

1. 案例val[v] == val[u]+1

如果当前 val[v]（通过其他路径到达 v）等于 val[u]+1，即我们使用通过 u 的当前路径和另一条向上的路径到达 v 的最短距离相等到v，那么到v的最短距离保持不变，但是路径的数量会随着到达u的路径数量的增加而增加。

count[v] = count[v]+count[u]
        

1. 案例val[v] > val[u]+1

由于我们使用 BFS 逐级遍历节点，这种情况不可能发生：图是未加权的，所以我们第一次设置 val[v] 时，保证 val[v] 已经包含从 src 到 v 的最短路径。

1. 案例val[v] < val[u]+1

在这种情况下，不需要更改 val[v] 和 count[v] 的值，因为这条路径不算最短路径

执行此算法直到 BFS 完成。 最后 val[dest] 包含到 source 的最短距离， count[dest] 包含从 src 到 dest 的路径数。