【发布时间】：2009-11-07 23:38:49
【问题描述】：
如果 T 是具有 n 个元素的平衡 BST，L 是左子树，R 是右子树，我如何证明它的深度小于或等于 2log(n) + 1？
我有一个归纳证明，但我不明白。
（我知道stackoverflow主要是面向编程的，但是我发现了一些关于二叉搜索树的问题并决定尝试一下，希望我没有做不好的事情。:)）
【问题讨论】：
标签： binary-tree depth proof binary-search-tree
【发布时间】：2009-11-07 23:38:49
【问题描述】：
根据“平衡”的定义，同一节点的每个左右子树的深度最多相差一个。 “深度”通常被定义为“从树根到叶子的最长步行步数”，因此例如具有一个根和两个叶子的 BST（三个元素只能以它们可以排列在平衡 BST 中的方式）是据说有深度一（看起来你正在使用一个稍微不同的定义，它会给它深度二？），就像一个有一个根和一个叶子的一样（这个叶子是根的左子树还是右子树都没有区别），而只有一个根也是叶子（单个元素）的人的深度为 0。（没有零元素的 BST）。
所以对于 n D(n) < log(n) + 1（log 表示以 2 为底的对数）通过检查，因为 1 = D(2) < log(2) + 1 = 2（还有 @987654324 @ 不等式的 RHS，log(3) + 1，实际上是 > 2) 和 0 = D(1) < log(1) + 1 = 1——这给了我们归纳基础。
为了通过归纳完成证明，我们必须证明如果D(k) < log(k) + 1 对所有k < n，那么它也遵循D(n) < log(n) + 1。
如果n是奇数，显然左右子树各有(n-1)/2个元素，并且树的深度比子树多1；但是然后D(n) = 1 + D((n-1)/2) < 1 + 1 + log((n-1)/2)（根据归纳假设）= 1 + log(n-1)（因为log((n-1)/2) = log(n-1) - 1）因此更不用说< 1 + log(n)，QED。
如果n 是偶数，您只需使用log(n) 而不是log(n-1) 执行相同的步骤，并且没有“更进一步”完成，那么证明仍然成立。
【讨论】：
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您提供的证明是针对 D(n)
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@sebkom，所以你可能使用了不同的深度定义，正如我在开头提到的那样，但即便如此，我也不明白为什么 RHS 需要像你所拥有的那么大。
如果平衡二叉树完整，则您的答案是正确的，左右子树中的元素数可以是 (n-1)/2，但如果它不完整，则元素数不需要是 (n-1) /2 作为最后一层可能有不同的元素
【讨论】：