找到最小化给定空间和约束点的距离的点？

Question

我有一个关于算法的问题：

我们在二维空间中有一个固定点，我们称它为 S(x,y) 和两个连接的长度（L1 和 L2）。这两个链接在一个称为 E(x,y) 的公共关节处连接。我们在空间中有另一个点，它是 L2 的端点，我们称之为 F(x,y)。

所以我们 L1 有两个端点 S 和 E，而 L2 有 E 和 F。

当我们在空间中得到一个点 P(x,y)。我们如何找到最接近 P 的 F(x,y) 的坐标？我想找到将链接 L1 和 L2 带到那个点的 θ1 和 θ2 的角度？

See this link to get the graphical representation of my problem

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查看这张图片http://postimage.org/image/qlekcv1qz/，您将能够看到我现在遇到的真正问题。

所以我将其表述为优化问题。目标函数在哪里：

   * arg min |P-F| 

具有约束 θ1 和 θ2，其中 θ1 ∈ [ O , π] 和 θ2 ∈ [ O , π/2]。

所以我们有，

   * xE = xS + L1  * Cosθ1  and yE = yS + L1 * Sinθ1
   * xF = xE + L2 * Cos (θ1 + θ2 )  and yF = yE + L2 * sin ( θ1 + θ2)

这里我们的长度为 L1 = 105 和 L2 = 113.7，点 S 是原点，即 xS = O 和 yS = O。

你能告诉我如何编写我的函数或任何优化问题，让我得到 θ1 和 θ2 的值，以使 F 点和 P 点之间的距离最小化。

Answer 1

所以如果我理解正确，您的描述相当于有两个长度为 L1 和 L2 的刚性杆，L1 的一端固定在 S，另一端通过柔性接头连接到 L2（在某个未定义的点 E） ，并且您希望使 L2 的另一端（点 F）尽可能靠近某个点 P。如果是这样的话：

 If |L1-L2| < |P-S| < |L1+L2| then F = P
 If |L1-L2| > |P-S| then F = S + (P-S)*|L1-L2|/|P-S|
 If |P-S| > |L1+L2| then F = S + (P-S)*|L1+L2|/|P-S|

这是你想要的吗？

查看图片 http://postimage.org/image/l1ktt0qtb/

如果点P比点S更接近|L1-L2| （假设它们不相等），那么点 F 不能“到达”点 P，即使 E 处的角度弯曲到 180 n 度。那么你能得到的最接近的是半径为|L1-L2|的圆上的某个地方。和中心 S。在这种情况下，最佳 F 由具有方向 (P-S) 和幅度 |L1-L2| 的向量给出，上面是我的案例 2 和下面的图 A。请注意，如果 L1=L2，则永远不会出现这种情况。

如果点 P 与点 S 的距离大于距离 |L1+L2|，则点 F 无法“到达”点 P，即使 E 处的角度被拉直为 0 度。那么你能得到的最接近的是半径为 |L1+L2| 的圆上的某个地方。和中心 S。在这种情况下，最佳 F 由具有方向 (P-S) 和幅度 |L1+L2| 的向量给出，上面我的案例 3 和下面的图 B。

如果点P在两个限制圆之间，那么将有两种解（一种如下图3所示，另一种是L1和L2反射在由向量P-S形成的镜像线中。在这种情况下“最佳”F 等于点 P。

如果您想知道 Theta1 和 Theta 2 的角度，那么这是一个不同的问题（我看到您现在已经添加了）。

对没有直角的三角形使用余弦规则。

规则是

 C = acos[(a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)]

其中三角形的边长为 a、b 和 c，C 是边 a 和 b 之间的夹角。您正在尝试生成一个边为 l1、l2 和 d=|S-P| 的三角形，只要没有两个长度（总和）比第三个短，这将是可能的。

通过适当地用 l1、l2 和 d 代替 a、b、anc c，您将能够求解每个内角 A、B 和 C。然后您可以使用这些角 A、B、C加上向量 P-S 和水平线之间的角度（也许称为 D？）来计算你的 theta1 和 theta2。