Mathematica 代码：Abs[x] 的导数答案

【问题标题】：Mathematica code: Derivative of Abs[x]Mathematica 代码：Abs[x] 的导数
【发布时间】：2011-06-13 13:28:35
【问题描述】：

关闭者注意事项：这是关于编程语言 (Mathematica) 的问题，而不是关于学科/科学（数学）的问题。

为什么

N[D[Sin[x], x] /. x -> Pi/4]
(*
Out -> 0.707107
*)

但是

N[D[Abs[x], x] /. x -> Pi/4]
(*
Out -> Derivative[1][Abs][0.785398]
*)

什么是强制数值结果的更好方法？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

Abs[z] 不是holomorphic function，因此它的导数在复平面上没有很好地定义（Mathematica 使用的默认域）。这与 Sin[z] 等不同，后者的复数导数（即相对于它的参数）总是被定义。

更简单地说，Abs[z] 依赖于z 和z*，所以应该被认为是一个双参数函数。 Sin[z] 仅依赖于 z，因此使用单个参数就有意义。

正如Leonid 所指出的，一旦你将域限制为实数，那么导数就会得到很好的定义（可能在x=0 除外，他们取了左右导数的平均值）

In[1]:= FullSimplify[Abs'[x],x \[Element] Reals]
Out[1]= Sign[x]

正如Szabolcs（在评论中）所指出的，FunctionExpand 将简化数值表达式，但“FunctionExpand 使用的某些转换仅在一般情况下有效”。

ComplexExpand 也给出了数字结果，但我不相信它。假设Abs 在实域中，它似乎采用导数，然后替换为数字/复数参数。也就是说，如果你知道你所做的一切都是真实的，那么ComplexExpand 就是你的朋友。

【讨论】：

所以，这就是原因。谢谢！
但是不评估 Abs'[.42] 的原因是什么？我不相信你所说的可以证明它是正确的（尽管它当然是真的）
@acl：我认为是因为Abs'[.42] = Limit[(Abs[z+.42] - Abs[.42])/z, z->0] 和限制在所有复杂方向上都不相同。将路径z[t_] := 1-Exp[I t] 视为t->0、z[t]->0，并且该方向的极限/导数始终为零。（这基本上是在重申我的回答……哦，好吧）
谢谢。我意识到Abs[x] 不是解析的，因为显然不能满足 Cauchy-Riemann 条件。我的评论是基于相信如果在 Abs 以外的函数中使用实数作为参数，mma 会假装只存在实数行，所以这将是不一致的。但是我刚刚尝试了Re'[.42] 等等，它们也仍未被评估（虽然我以为我记得它被评估为 1），所以我想我只是记得别的东西......

【解决方案2】：

我建议您参考this 线程可能相关 - 这个问题之前已经讨论过。总结一下我的回答，Abs 通常是在复数上定义的。一旦你指定你的论点是真实的，它就会起作用：

 In[1]:= FullSimplify[Abs'[x], Assumptions -> {Element[x, Reals]}] 

 Out[1]= Sign[x]

【讨论】：

@Leonid 但正如您在该线程中指出的那样，它不适用于特定的真实参数。例如， Abs'[.23] 不计算，而 IntegerPart'[.23] 计算。不是很一致，除非我遗漏了什么。
@belisarius 哦，我明白了，您主要是在询问数字。对不起，我没有仔细阅读你的问题。有趣的是，虽然FunctionExpand 似乎总是有效，但FullSimplify 适用于整数而不是实数。
@acl 是的，我同意，对我来说看起来不太一致。我可以理解，可能不希望自动评估符号或整数参数，但一旦它们是真实的或应用N，它应该给出一个数字答案。
@Leonid：即使有特定的实数值，导数也没有很好的定义。该值仅定义您检查导数的点，而不是方向。 FunctionExpand 似乎在对域做出（几乎合理的）假设。
@Leonid：我认为这是正在发生的事情，因为几乎在其他任何地方，Mma 都假设复杂的变量。而且我同意，也许更复杂的功能或更改默认域的能力会很好，但那会与功率/速度/一致性进行权衡吗？

【解决方案3】：

您可以使用FunctionExpand 强制获取一个数字作为结果，即使您使用的是精确数量：

Abs'[Pi/4] // FunctionExpand
Abs'[-1] // FunctionExpand

我不知道以下原因：

In:= Abs'[0] // FunctionExpand
Out= 0

【讨论】：

@Szabolcs 谢谢。你知道为什么这是必要的吗？我的意思是……为什么 Mma 不像往常一样评估这个？
+1，不知道 FunctionExpand！很好奇为什么 IntegerPart'[x] 计算数字 x 但 Abs'[x] 却没有。
最后一位可能是由于约定（严格来说该值未定义，因为导数不存在）。
@Szabolcs 为什么您认为第二个答案有问题？这与Sign[x]的定义是一致的，只要我们同意Abs'[x] == Sign[x]是真正的x。
@Leonid，原因是@rubenvb 所说的。它在数学上并不精确。也许这就是它没有被自动评估的原因，@belisarius。在“可能的问题”下，文档页面显示：“FunctionExpand 使用的某些转换仅在一般情况下有效。” Leonid 是正确的，因为Abs'[x] 被扩展为Sign[x]，所以出现了“不精确”的结果：FunctionExpand[Abs'[x], Assumptions -> x \[Element] Reals]