Mathematica：求解包含函数共轭或函数 Abs 的 PDE

Question

我正在尝试使用 NDSolve 对 PDE 进行数值求解。我不断收到以下错误：

"NDSolve::ndnum: "Encountered non-numerical value for a derivative at t == 0.."

似乎我只是因为Abs[D[f[x,y,t],x]] 或Conjugate[D[f[x,y,t],x]] 的存在而收到此错误。我创建了一个非常简单的函数来演示这个问题。

这将起作用：

noAbs = D[f[x, t], t] == f[x, t] f[x, t] D[f[x, t], x, x]
xrange = \[Pi]; trange = 5;
forSolve = {noAbs, f[x, 0] == Exp[I x], f[-xrange, t] == f[xrange, t]}
frul = NDSolve[forSolve, f, {x, -xrange, xrange}, {t, 0, trange}, 
   MaxStepSize -> 0.007, Method -> "MethodOfLines" ];

这行不通（请注意，唯一的区别是我们没有 Abs）。

withAbs = D[f[x, t], t] == f[x, t] f[x, t] Abs[D[f[x, t], x, x]];
forSolve = {withAbs, f[x, 0] == Exp[I x], 
  f[-xrange, t] == f[xrange, t]}
frul = NDSolve[forSolve, {f}, {x, -xrange, xrange}, {t, 0, trange}, 
   MaxStepSize -> 0.007, Method -> "MethodOfLines" ];
Plot3D[Re[f[x, t]] /. frul, {x, -xrange, xrange}, {t, 0, trange}]

现在我猜 Mathematica 试图对我的表达式求导，发现它不知道如何导出 Abs 函数。我的假设是否正确，如何解决这个问题？

Answer 1

耐心一点，并根据函数的实部和虚部编写所有内容。 设置f=fRe + I fIm：

equation =  ComplexExpand[
 (Derivative[0, 1][fRe][x, t] + I Derivative[0, 1][fIm][x, t]) == 
 (fRe[x, t] + I fIm[x, t])^2  Abs[Derivative[2, 0][fRe][x, t] + I Derivative[2, 0][fIm][x, t]], 
   TargetFunctions -> {Re, Im}] ;

初始条件：

Plot[Evaluate@solAbs[x, 0], {x, -xrange, xrange}]

边界条件：

Plot[Evaluate@(solAbs[-xrange, t] - solAbs[xrange, t]), {t, 0, trange}, PlotRange -> All]