从R中的插值样条获取多项式系数

Question

我有一组测量值，我想使用三次样条在R 中插值。由于这些只是分段多项式，我随后想代数集成插值函数。因此我需要系数。有没有办法获得这些？
调用 splines::interpSpline(foo, bar)$coef 似乎不会返回实际的多项式系数。

Answer 1

splines::interpSpline(x,y)$coef 的输出给出了 x(i) 和 x(i+1) 之间部分的多项式系数根据 (x-x(i)) 的幂，而不是幂x。这是有道理的，因为得到的系数大小合理并且更容易解释：例如，每个常数项只是 y(i)，二次系数给出了 x(i) 处的凹度，等等。

例如这个输出

> x <- c(1,3,6,9)
> y <- c(3,1,4,1)
> splines::interpSpline(x,y)$coef
     [,1]        [,2]       [,3]        [,4]
[1,]    3 -1.54054054  0.0000000  0.13513514
[2,]    1  0.08108108  0.8108108 -0.16816817
[3,]    4  0.40540541 -0.7027027  0.07807808
[4,]    1 -1.70270270  0.0000000  0.00000000

表示

• 在区间 [1,3] 上，多项式为3 - 1.54054054*(x-1) + 0.13513514*(x-1)^3
• 在区间 [3,6] 上，多项式为1 + 0.08108108*(x-3) + 0.8108108*(x-3)^2 - 0.16816817*(x-3)^3
• 在区间 [6,9] 上，多项式为4 + 0.40540541*(x-6) - 0.7027027*(x-6)^2 + 0.07807808*(x-6)^3

我看不到最后一行有太多用处，它描述了样条线超出 x=9（数据的右端点）的线性延续。

积分这些并不比积分 x 的幂更难，但如果目标是获得连续的反导数，当然需要选择积分常数。多项式形式的选择使得处理积分常数更容易。假设我们选择左端点值为 0 的反导数，其余如下：

• 在区间 [1,3] 上，反导数是 3*(x-1) - 1.54054054*(x-1)^2/2 + 0.13513514*(x-1)^4/4
• 在区间 [3,6] 上，反导数是 C1 + 1*(x-3) + 0.08108108*(x-3)^2/2 + 0.8108108*(x-3)^3/3 - 0.16816817*(x-3)^4/4。这里 C1 是前一个反导数在 x=3 处的值。
• 在区间 [6,9] 上，反导数是 C2 + 4*(x-6) + 0.40540541*(x-6)^2/2 - 0.7027027*(x-6)^3/3 + 0.07807808*(x-6)^4/4。这里 C2 是前一个反导数在 x=6 处的值。