R：如何获得用于分析积分的插值样条的分段系数？答案

【问题标题】：R: How to get piecewise coefficients of an interpolation spline for analytical integration?R：如何获得用于分析积分的插值样条的分段系数？
【发布时间】：2018-07-27 01:46:03
【问题描述】：

动机

我在数值上评估一个深度嵌套的多重积分。在每个嵌套级别，我得到下一层的积分向量，将其乘以密度函数向量，得到该级别的被积函数 y 的向量。 x 值的间距不均匀。

被积函数是弯曲的，梯形积分不够准确，所以我想做一个允许曲率的积分。辛普森规则不适用，因为横坐标不是均匀分布的。所以我建议做一个三次样条插值，然后通过解析计算每个段中三次的积分来计算样条函数的积分。

问题

我一直在研究 spline 和 splinefun 以及 splines2 包中的函数。但是我找不到任何可以告诉我三次多项式系列的系数的东西——每个节之间的一个段。

如果有人能指出一个函数，该函数可以进行样条插值并提供三次系数数组，我将不胜感激。

谢谢。

【问题讨论】：

标签： r interpolation spline integral polynomials

【解决方案1】：

这是在这里扩展我的新答案的好机会：How to save and load spline interpolation functions in R? 使用分段参数化，很容易计算分段积分。

这是一个用于计算的（矢量化）函数：

## a function for integration on a piece
piecewise_int <- function (hi, yi, bi, ci, di) {
  yi * hi + bi * hi ^ 2 / 2 + ci * hi ^ 3 / 3 + di * hi ^ 4 / 4
  }

下面，我会以那个线程中的小例子，展示如何整合样条。

## the small example in the linked thread
set.seed(0)
xk <- c(0, 1, 2)
yk <- round(runif(3), 2)
f <- splinefun(xk, yk, "natural")  ## natural cubic spline
construction_info <- environment(f)$z

## information for integration
int_info <- with(construction_info,
                 list(h = diff(x), y = y[-n], b = b[-n], c = c[-n], d = d[-n])
                 )

## cubic spline integration on all pieces
integral <- sum(do.call(piecewise_int, int_info))
#[1] 0.81375

我们也可以进行数值积分来验证这个结果。

integrate(f, 0, 2)
#0.81375 with absolute error < 9e-15

【讨论】：