旅行商问题中的交叉边缘答案

【问题标题】：crossing edges in the travelling salesman problem旅行商问题中的交叉边缘
【发布时间】：2010-03-14 22:45:10
【问题描述】：

是否存在旅行商问题，即最优解具有交叉的边？

节点位于 x-y 平面中，因此在这种情况下，交叉意味着如果要绘制图形，连接四个独立节点的两条线段将相交。

【问题讨论】：

请定义交叉的边。
如果边交叉，则每个节点都取决于位置。从本质上讲，这意味着交叉边是一个节点，因此会改变最佳解决方案的观点。
因为如果两架飞机的飞行路线交叉，你总是可以在飞机之间跳到一半？
@Pete Kirkham，你的意思是什么？
@bob 这个问题的答案完全取决于您未提供的两条信息——您是否使用欧几里得度量，以及是否可以将任何边的交叉视为节点。如果您有一个欧式度量但在交叉口没有变化（例如，在城市之间有一组固定航班的平地航空公司），那么会有交叉口的示例，如果您有其他带有隐含节点的度量标准，那么在交叉口还有其他示例，但是如果你在所有交叉点都有 Eucildian 度量和隐式节点，那么 lhf 的推理适用。

【解决方案1】：

如果闭合折线中的两条边相交，则存在具有相同顶点但周长较小的折线。这是三角不等式的结果。因此，TSP 的解决方案必须是一个简单的多边形。请参阅this article（图 4）。

【讨论】：

问题：作为旅行推销员之旅的一部分，是否有必要将访问的最后一个城市连接回访问的第一个城市，并且以这种方式最后一条路径“相交”/跨越多个先前的边缘？编辑：也许这取决于你如何绘制它？就像有一种方法可以将其绘制为不相交边的多边形。
@Jason，我的答案的重点是欧几里得 TSP，解决方案永远不会自我交叉。
以防文章移动："Sales and Chips" in: Feature Column from the AMS

【解决方案2】：

如果您考虑像 L1（曼哈顿距离）这样的非欧几里得度量，那么构建自相交的最短路径非常容易。

+--3--+
|  |  |
|  |  |
2--+--1
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+--4--+

如果每对相邻的交叉点的距离为 1，则所有行程的长度为 8，包括自相交的行程为 1 --> 2 --> 3 --> 4 --> 1。

【讨论】：

但是，我相信这可以转化为 3-D 欧几里得空间中的旅行商问题，在这种情况下，最优解（相当于这个）将没有交叉点。我添加的关键是所有 NP 完全问题——包括曼哈顿距离 TSP 问题——都可以相互“归约”。因此，求解曼哈顿 TSP 与求解欧几里德 TSP 没有什么不同……而在欧几里德 TSP 中，没有最优解会出现边交叉。

【解决方案3】：

如果从节点 A->C 出发的成本加上成本 B->D > 成本 A->B 和 C->D，您可能会得到交叉边。当成本与节点之间的距离无关时，您可能会得到这个。

一个现实生活中的例子可能是从 A 到 C 有一个奖励（例如，您可以走私一些违禁品）或者成本取决于前面的步骤（图灵左一个红绿灯可能会花费您很多时间）。

【讨论】：

【解决方案4】：

简单地说，任何每个节点都有两条边的连通图只有一个 TPS 解决方案，如果绘制有交叉点，则将满足您规定的标准。

如果您设置其他限制条件，例如，如果您使用信风对环球旅行进行建模，因此成本仅与太空中的位置有一定程度的相关性，您可能会发现一个更复杂的情况，即最佳穿越。

【讨论】：