如何根据距已知点的 4 个距离找到点的 3D 坐标

Question

经过一周的搜索和试验，很明显我陷入了困境。我在空间中有 4 个已知点 [A,B,C,D] 以及它们各自到未知点 X 的距离。我的数学知识充其量是基本的，所以在尝试理解一些 3d 数学时遇到了令人沮丧的事情，所以任何人都可以用 c++ 中的逐步示例 来解释所需的算法X点？ 谢谢。

例如：点 A {-39, 24.9062, -0.65625}、点 B {-13.5, 25.2812, -4} 和点 C {-11.5625, 43.8125, 11.625 }。距离AX = 21.5116、BX = 43.8125 和CX = 11.625。

正如人们所指出的那样，有一个解决方案是计算 X 与球体的交点，但正如我所说，我的数学并不是那么好，所以一个可行的例子将不胜感激。

我认为另一种可能的解决方案是首先找出ABC 三角形所在的平面底部与指向X 之间的距离。这个距离基本上是三面体ABCX 的高度。然后从那里使用三角函数计算出AX、BX 和CX 顶点的仰角，以计算出y = mx + b 线的m。这又是我的数学技能失败的地方。

表明 Matlab/Mathematica 示例一切都很好，但由于它使用自己的数学函数库，并假设对数学工艺有良好的工作知识来解决问题，恐怕它根本对我没有帮助。我正在寻找 C++（或 C）中这个确切问题的分步解决方案。

我看过的任何地方（包括 SO）都没有人从绝对开始到绝对结束全面解释了这个 3 维问题的解决方案。不是每个人都擅长数学，这就是为什么我更喜欢一个工作示例，这样我就可以通过并更好地掌握。

无论过去还是将来，都感谢大家提供的各种链接和建议。

Answer 1

你问的问题叫做Trilateration。基本上，您可以选择三个锚点并使用第四个来消除歧义。这篇 Wiki 文章试图简化计算，假设这三个点位于 z = 0 平面内。

一般情况需要更复杂的计算，因此您需要将三个锚点映射到本文中讨论的情况，然后找到解决方案，然后使用逆变换将它们映射回来。

您可以使用搜索字符串“trilateration C++”轻松找到该问题的 C++ 代码。

Answer 2

首先写出以三个已知点为圆心，半径已知的三个球的方程。

(X-Xi)² + (Y-Yi)² + (Z-Zi)² = Ri²

从其他两个中减去第一个，术语X²、Y² 和Z² 消失，留下两个平面方程，它们定义了一条直线。

沿着这条线找到两个不同的点P0和P1（例如使用Line of intersection between two planes），并形成这条线的参数方程

P = P0 + t (P1 - P0).

将其代入第一个球体的方程会产生一个二次方程，它应该在t 中为您提供两个解。

[(P0 - C0) + t (P1 - P0)]² = (P0 - C0)² - 2 (P0 - C0).(P1 - P0) t + (P1 - P0)²t² = R0²

计算两个P，然后使用第四个点来保持与它的距离最匹配的解。