计算两个椭圆的交点

Question

给定正方形勾勒出一个半径为 r 的圆。 在正方形的左上方，有两个直径为d的恒等椭圆。 椭圆的交点（图中两个箭头所指）到正方形的左（或上）边的距离是多少？

Answer 1

假设圆以(0, 0)为中心。

水平椭圆的中心 = (0, r - d/2)

水平半径 = r

垂直半径 = d/2

水平椭圆方程 = x^2/r^2 + (y -r + d/2)^2/(d/2)^2 = 1。

由于对称性，我们也知道两个交点满足y = -x。那么

x^2/r^2 + (x + r - d/2)^2/(d/2)^2 = 1

或

d^2/4 x^2 + r^2(x + (r - d/2))^2 = r^2d^2/4

(d^2/4 + r^2)x^2 + r^2(2r - d)x + r^2(r - d/2)^2 - r^2d^2/4 = 0

(d^2/4 + r^2)x^2 + r^2(2r - d)x + r^4 - r^3d = 0

(d^2/4 + r^2)x^2 + r^2(2r - d)x + r^3(r - d) = 0

你现在可以在x等中完成求解这个二次方程的计算了