给定条件下的最长子序列

Question

给定一个数组A，它有n个元素和整数k。我需要找到从数组的第一个元素开始的最长子序列，并且子序列的总权重≤k。
子序列的权重定义为所选子序列的连续元素的绝对差之和。

约束 : -
1 ≤ n ≤10^5
0≤k≤50
0≤Ai≤50
示例：n= 4, k = 5, A = [1, 2, 50, 6]

答案：最长的有效子序列[1, 2, 6]，长度为3。 子序列的权重是|1 - 2| + |2 - 6| = 1 + 4 = 5。 请注意，子序列从数组的第一个元素开始。

我认为这个问题可以使用动态规划来解决，但我无法提出递归关系。

Answer 1

假设您正在处理数组 A，选择要包含在子序列中的值。在每个步骤中，您可以 (a) 包含当前值，或者 (b) 不包含它。如果你记住了这两个选项中更好的一个，那么应该可以让动态编程工作。

在伪代码中，您的函数应该如下所示：

int longest_subseq(ix, available_weight, last_val):
    # Parameters:
    # ix = an index into array A (assumed to have global scope)
    # available_weight = the remaining weight avaiable for the subsequence
    #                    starting at ix
    # last_val = the last value in the subsequence from A[0] through A[ix-1]

    # When first called, create a DP array of 10^5 × 51 × 51 elements
    # (This will use about 1GB of memory, which I assume is OK)
    if DP is undefined:
        DP = new array(100001, 51, 51)
        initialize every element of DP to -1

    # Return memoized value if available
    v = DP[ix, available_weight, last_val]
    if v >= 0:
        return v

    # Check for end conditions
    if ix == n or available_weight == 0:
        return 0

    # Otherwise you have two options; either include A[ix] in the
    # subsequence, or don't include it
    len0 = longest_subseq(ix+1, available_weight, last_val)
    if abs(A[ix] - last_val) > available_weight:
        DP[ix, available_weight, last_val] = len0
        return len0
    len1 = 1 + longest_subseq(ix+1, available_weight-abs(A[ix]-last_val), A[ix])
    if len0 > len(1):
        DP[ix, available_weight, last_val] = len0
        return len0
    else:
        DP[ix, available_weight, last_val] = len1
        return len1

如果您随后调用longest_subseq(0, k, A[0])，该函数应在合理的时间内返回正确答案。