给定一个数字，找出通过将任意 2 个连续数字替换为 2 个中较大的数字而形成的所有数字中的最小值答案

【问题标题】：given a number, find the minimum of all numbers formed by replacing any 2 consecutive digits with the higher of the 2给定一个数字，找出通过将任意 2 个连续数字替换为 2 个中较大的数字而形成的所有数字中的最小值
【发布时间】：2023-04-06 06:26:01
【问题描述】：

例如：如果 N = 8729，则编号为 829、879、879。最小编号为 829。

蛮力是通过删除连续对的低位数字来找到所有数字中的最小值。时间复杂度为 O(n)。有没有更好的方法来思考这个问题？

【问题讨论】：

我不想改变你的问题的意图，但听起来你想将你的标题改写为“给定一个数字 N，找到通过替换生成的数字集中的最小数字N 中的任意两个连续数字，两者中的较高者"。
通过删除与较大数字相邻的任何数字将形成等效集合。我认为这样考虑更容易，因为您无需查看每一对连续数字，而是查看一个数字并将其与一个或两个相邻数字进行比较。这样您就可以按顺序进行并跳过重复项（例如 879 879）。
你如何处理相等的连续数字？对于889，生成集是[88, 89] 还是只是[89]？

标签： algorithm math

【解决方案1】：

蛮力是通过删除连续对的低位数字来找到所有数字中的最小值。时间复杂度为 O(n)。

O(n) 的确切含义令人非常困惑。

n 是什么？它与您的示例中的N 有什么关系（N = 8729）？您的意思是枚举所有可能选项并选择最小值的算法具有O(N) 运行时复杂度？

如果是这样，那么我认为你可能错了。运行时复杂度为O(log(N))（空间复杂度相同）。原因是所有可能选项的个数等于N的位数，大约等于N的log10。

我认为没有比这更好的了。一些修剪可能会提高平均案例复杂度，但最坏的情况始终是O(log(N))。

【讨论】：

【解决方案2】：

我不相信你可以改进 O(N)，其中 N 是数字中的位数。但是，我相信您可以改善计算成本，因为“最小”一词意味着从左到右的顺序。

考虑一个由 ABC... 表示的数字，其中“...”表示任意数量的附加数字。

如果 A>B，那么所有可能的解决方案都必须以 A 开头。这可以在您的示例中看到，其中所有可能的解决方案都以 8 开头。如果 A

所以，我们知道第一个数字总是代表答案中的第一个数字！

更进一步，如果 A

但是，如果 A>B，则 B 在最小解中是可选的，允许选择 - 如果 B>C，则最小解必须是 AC...，通过替换 AB=>A，因为 AB...将始终大于 AC...，只要在任何子解决方案上满足此条件，就会缩短解决方案。

请注意，由于完全升序的最坏情况，这仍然是 O(N)，但可能会消除一些单独的步骤，我认为这是可以做到的最好的。

【讨论】：