如何找到通过一组集合的最短路径？答案

【问题标题】：How to find the shortest path that pass through a group of Sets?如何找到通过一组集合的最短路径？
【发布时间】：2019-02-14 13:03:18
【问题描述】：

我有一个算法问题，我有许多无序元素集，我需要找到通过所有这些集合的最短路径（集合的有序组合）。可能有数千套。

例如，假设有以下 4 个无序集：
A=abcdefg
B=cd
C强>=abch
D=defi

最短路径大小为 11。

一种可能的解决方案是：
P=CADB=habcgdeficd
|P|=11

请注意，集合可能与路径中的相邻集合共享元素！
也可能存在属于不同集合的重复元素（如上例中：'c' 和 'd' 在 P 中重复，通过将 B 添加到加元）。

请提供算法以找到所描述的最短路径。
谢谢！

【问题讨论】：

虽然很有趣，但我认为这个问题可能更适合 MathExchange（甚至是 MathOverflow）。另外，我怀疑这个问题是否存在有效的解决方案。
我倾向于认为这个解决方案将是非多项式的。假设您可以使用一些预先计算在O(1) 中回答“这些集合有多少共同元素”的问题。现在把这个每一个集合放在一个图中，你有一个click，其中每条边都是这个查询。您需要找到一条经过所有顶点并具有最大交叉点的路径。我不确定，但我认为是NP hard。

【解决方案1】：

这个问题可以简化为Shortest common superstring problem的变体

【讨论】：

我是你的例子，abcdefghi 是 A、B、C、D 的超字符串。试试>>> A,B,C,D=map(set, ["abcdefg", "cd", "abch", "defi"]) >>> all(set("abcdefghi") >= S for S in [A, B, C, D]) True。但abcdefghi 似乎不是真正的路径（A 包含 B）。
字符串 'abcdefghi' 不是 A、B、C、D 的超字符串，因为没有字符串是集合 C 的变体，包含在该字符串中。
我的错误：一个超集。您的第一篇文章中没有提到顺序，因此超字符串是另一个问题的解决方案。
在我写的第一句话中：“……最短路径（集合的有序组合）……”

【解决方案2】：

你有一个图表：

您正在寻找覆盖所有节点的最短路径。这是travelling salesman problem 的变体，无需回到开头。

编辑： 我试图总结 cmets 中讨论的内容和我的答案。

问题中不清楚的是：如果一个集合是另一个集合的超集，你会怎么做？我假设您想将这两组分开，这就是我写的原因：'如果 A 和 B 有交集但不是另一个的子集，则边缘 A-B 存在'。对于 TSP，如果边不存在，只需在集合 A 和 B 之间使用无限距离。这适用于子集/超集。
路径是有序的（根据路径的定义），但集合是无序的。这就是为什么这不是最短常见超弦问题的（微不足道的）变体。一个字符串是有序的，一个集合号。
TSP 的想法也不适用于上面定义的距离，因为：
- 距离定义不好：当交叉点增长时，距离应该严格减小。解决方案是max(len(S)) - len(A ^ B)。
- 更重要的是：不允许在集合的“两侧”使用相同的字母。例如。 “abc”不能与“bcd”相距1，与“eb”相距2，因为如果您选择路径“a-bc-d”，则边缘“abc”-“eb”不会不存在了。也许贪婪的选择会奏效，但我不确定。

【讨论】：

当您必须包含一个完全包含另一个的集合时，问题就开始了。一个简单的 TSP 是不够的。不过，最短公共字符串的答案非常接近 TSP。
@ekatz 如您所见，我写道：“如果 A 和 B 有交集但不是另一个子集，则存在边 A-B”。这种情况会强制子集/超集被分离。
正如我所写：“...我需要找到通过 all 的最短路径（集合的有序组合）套。”因此，在您的解决方案中，我可能有一个最终的有序路径，其中某个集合不会位于其中。