使用 O(n) 变换计算 O(nlogn) 中具有正和的连续子数组的数量

Question

我有兴趣找到总和为正值 (sum>0) 的连续子数组的数量。

更正式地说，给定一个整数数组 A[1,...,n] 我希望计算整数对 (i,j) 使得 10.

我熟悉 Kadane 的算法，用于在 O(n) 中找到最大和子数组，并且使用类似的方法我可以在 O(n^2) 中计算这些子数组的数量。

为此，我采用累积总和 T(i)。然后我计算所有 j=1,...,n 和 i=1,...,j 的 T(j)-T(i-1) 并记录最终为正的差异。

显然，尽管有一个 O(n) 时间例程可以将此问题转换为计算反转次数的问题（可以使用归并排序在 O(nlogn) 中实现）。尽我所能，我一直无法找到这种转变。

我确实明白，我必须以某种方式将这种反转与一对 (i,j) 之间的元素之和为正的事实相匹配。

有人对如何执行此操作有任何指导吗？非常感谢任何帮助。

编辑：我实际上是在寻找 O(n) 转换，而不是寻找子数组数量的替代解决方案（不是基于转换加反转计数）。

Answer 1

使用原始数组 A，构建另一个数组 sumA，这样：

sumA[i] = A[0] + A[1] + ... + A[i].

现在在这个 sumA[] 数组中，如果有两个索引 i, j (i

然后sumA[j] - sumA[i] > 0。这正是索引 i 和 j 之间所有元素的总和。

因此，问题减少到找到这个数组的反转数。这可以通过使用归并排序对数组 sumA[] 进行降序排序并计算此过程中遇到的反转次数来进行。