需要帮助分析 O(n) 复杂度

Question

我一直在努力完成我的算法和数据结构分析作业。使用 COVID-19 和电子学习，这很困难！特别是因为我的教科书被延期了 :(。我想知道是否有好心人可以帮助我分析这些 O(n) 问题。

我基本上理解它，但我在计算循环上的原始操作时遇到了很大的困难，例如 for( i = 0; i

不管怎样，我会把它们放在下面。顺便说一句，我将把我有根据的猜测放在下面。对我来说最重要的部分就是了解原始操作。即使我得到了正确的复杂性，我仍然很难从数学上得出那个解决方案。非常感谢您！

// #1 O(n)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
      sum++;

// #2 O(n^2)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
    for( j = 0; j < i; j++ )
         sum++;

// #3 O(n^4)
sum = 0;
for( i = 0; i < n2; i++)
    for( j = 0; j <  i; j++)
          sum++;

// #4 O(n^5)
sum = 0;
for( i = 0; i < n; i++)
   for( j = 0; j <  i*i; j++)
      for( k = 0; k <  j; k++)
          sum++;

Answer 1

简单地说，时间复杂度是指我们的代码在更改输入时将花费多少时间，并以 n（输入大小）来衡量。

// #1 O(n)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
      sum++;

时间复杂度为 O(n)，因为您只运行 1 个循环。如果 n 值为 10，则运行 20 次，如果 n 值为 20，则运行 40 次，以此类推。虽然时间复杂度随着2n的增加而增加，但是我们舍弃了这个常数，说时间复杂度是O(n)，即时间复杂度会相对于n线性变化。

// #2 O(n^2)
sum = 0;
for( i = 0; i < 2n; i++ )
    for( j = 0; j < i; j++ )
         sum++;

这里外循环运行 2n 次，每 2n 次内循环将运行 i 次。如果您计算不同 n 值的操作，您将看到循环运行的次数改变了 n^2，而不仅仅是 n。 所以时间复杂度是O(n^2)。

// #3 O(n^4)
sum = 0;
for( i = 0; i < n2; i++)
    for( j = 0; j <  i; j++)
          sum++;

这里的外循环运行 n^2 次，对于每个外循环，内循环将运行 i 次（平均为 n^2）。所以外 n^2 X 内 n^2 是 n^4。所以时间复杂度是O(n^4)。

// #4 O(n^5)
sum = 0;
for( i = 0; i < n; i++)
   for( j = 0; j <  i*i; j++)
      for( k = 0; k <  j; k++)
          sum++;

第一个循环运行 n 次，第二个循环平均运行 n^2 次（ii 是 nn），第三个循环平均运行 n^2 次（j 将保持由于第二个循环，n^2 差异值）。所以总时间复杂度将是 O(n x n^2 x n^2) = O(n^5)

Answer 2

在分析时间复杂度的时候，可以忽略n之前的所有数字，比如2n就和n一样。因为当n变得无限大时，2就和1一样了。（这也是分析O()复杂度时很重要的一点）

以#4为例，i是O(n)，j是O(n^2)，k也是o(n^2)。那么总复杂度将是所有这些的乘积，答案将是 O(n^5)。另一个例子#2，i就是O(n)，和j一样，那么答案就是O(n^2)

Answer 3

尝试从最内层循环开始预测每个循环如何变化sum。您应该能够以这种方式得出精确的表达。例如。对于您的第二个示例（我添加了一个显式乘法标记，希望这是正确的解释）：

sum = 0;
for( i = 0; i <  in pretty much the same way, except for the different series.2 * n; i++ )
    for( j = 0; j < i; j++ )
        sum++;

先替换内循环：

sum = 0;
for(i = 0; i < 2 * n; i++)
    sum += i;

这很简单。有i 迭代，每次将sum 递增1，因此完整的循环可以用sum += i 替换。外循环有点棘手。我们正在总结从 0 到 2 * n 的所有整数，所以

sum += 0 + 1 + 2 + ... + 2 * n - 1 + 2 * n

现在有一个众所周知的公式（或者只使用 google 或 wolframalpha，两者都足以为像这样的简单案例找到封闭公式）

1 + 2 + ... + n = n * (n + 1) / 2

使用它，我们现在还可以减少外循环：

sum = 0
sum += 2 * n * (2 * n + 1) / 2 = 2*n^2 + n

现在剩下要做的就是从表达式中删除所有低阶项和系数：

sum = 2 * n^2 + n = O(n^2)