给定两个数字 A 和 B 的总和找到 A 和 B 的最大乘积

Question

给定 A 和 B 的总和让 S 我必须找到 A*B 的最大乘积 但是 A 的一个条件值将在 [P,Q] 范围内

如何进行呢？

如果没有范围，那么任务就很简单了。

使用推导方法。

例如如何找到最大产品。

A+B=99 A 的值将在 [10,20] 范围内

那么 A 和 B 的最大乘积是多少。

O(N) 不足以解决问题

Answer 1

很明显，B = S - A 你需要最大化A * (S - A)。

您从代数中知道A * (S - A) 在A = S / 2 时达到最大值。

如果S / 2在[P Q]的允许范围内，则最大值为A^2 / 4。

否则，通过单调性，最大值会在边界之一处达到，并且是 P * (S - P) 和 Q * (S - Q) 中的最大值。

这是一个 O(1) 的解决方案。

Answer 2

这实际上是一道数学题，与编程无关

即使你是作为一个编程问题给出的，你也应该首先从数学上理解它。

你可以在几何上把它想象成“如果我的矩形的周长固定为S，我怎样才能达到最大面积？”

答案是制作等长的边，然后将其变成正方形。如果您受到限制，则必须尽可能接近正方形。

你可以用微积分形式来表示：

A+B = S, so B = S-A

AB therefore = A(S-A)

A is allowed to vary, so write it as x

y = x(S-x) = -x^2 + Sx

This is a quadratic, its graph Will look like an upsidedown parabola

You want the maximum, so you're looking for the top of the parabola

dy/dx = 0

-2x + S = 0

x = S/2

查看它的更好方法是从我们的矩形 Pq = A 开始，并说 P 是较长的边。

所以现在让它更倾斜，通过使长边 P 稍微长一点，短边 q 稍微短一点，两者的量相同，所以 P+q 不变，我们可以证明面积下降：

Pq = A

(P+delta) * (q-delta) 
    = Pq + (q-P)*delta + delta^2  
    = A + (q-P)delta

我扔掉 delta^2，因为它随着 delta 缩小到 0 而消失

    = A + (something negative)*delta
    = A - something positive

即