给定两个数组，找到最小化和 A[i]*|B[i]-B[k]| 的索引 k答案

【问题标题】：Given two arrays find the index k that minimizes the sum A[i]*|B[i]-B[k]|给定两个数组，找到最小化和 A[i]*|B[i]-B[k]| 的索引 k
【发布时间】：2013-01-07 18:48:21
【问题描述】：

给定两个包含自然数 A 和 B 的数组，我需要找到使总和 A[i] * |B[i]-B[k]| 最小化的索引 k从 i=0 到 n-1。（两个数组的长度相同）在 O(n^2) 中显然很容易做到，我只计算 0 到 n-1 之间的所有 k 的所有总和，但我需要更好的运行时间复杂度。

有什么想法吗？谢谢！

【问题讨论】：

@Dukeline：我认为他的意思是绝对价值。

标签： arrays algorithm data-structures

【解决方案1】：

您可以在 O(nlogn) 时间内完成此操作，方法是首先根据 B 中的值对两个数组进行排序，然后执行一次扫描。

一旦对数组进行排序，如果 i>k 则 B[i]>=B[k] 并且如果 i

sum A[i] * abs(B[i]-B[k]) = sum A[i]*(B[i]-B[k])  for i=k..n-1
                            + sum A[i]*(B[k]-B[i])  for i=0..k-1

    = sum A[i]*B[i] for i=k..n-1
      - B[k] * sum A[i] for i=k..n-1
      + B[k] * sum A[i] for i = 0..k-1
      - sum A[i]*B[i] for i = 0..k-1

您可以预先计算时间 O(n) 中的所有总和，然后让您评估 O(n) 中每个位置的目标总和，并选择给出最佳分数的 k 值。

【讨论】：

【解决方案2】：

我相信我能做到这一点是 O(n log n)。

首先，对B 数组进行排序，对A 数组应用相同的排列（并记住排列）。这是 O(n log n) 部分。由于我们对所有 i 求和，因此对 A 和 B 数组应用相同的排列不会改变最小值。

使用排序的B 数组，算法的其余部分实际上是 O(n)。

对于每个k，定义一个数组C_k[i] = |B[i] - B[k]|

（注意：我们不会实际构造C_k...我们只是将其用作一个概念，以便于推理。）

观察我们试图最小化的数量（超过 k）是 A[i] * C_k[i] 的总和。让我们继续给它起个名字：

定义：S_k = Σ A[i] * C_k[i]

现在，对于任何特定的 k，C_k 是什么样的？

嗯，很明显，C_k[k] = 0。

更有趣的是，由于B数组是排序的，我们可以去掉绝对值符号：

C_k[i] = B[k] - B[i]，对于 0
C_k[i] = 0，对于 i = k
C_k[i] = B[i] - B[k]，对于 k

让我们再定义两件事。

定义：T_k = Σ A[i] for 0

定义：U_k = Σ A[i] for k

(即T_k是A的前k-1个元素之和。U_k是A中除前k个元素之外的所有元素之和.)

关键观察：给定 S_k、T_k 和 U_k，我们可以计算 S_{k+1、T_k+1 和 U_k+1 在恒定时间内。怎么样？}

T 和 U 很简单。

问题是，我们如何从 S_k 到 S_k+1？

考虑当我们转到 C_k+1 时 C_k 会发生什么。我们只需将 B[k+1]-B[k] 加到 C 中从 0 到 k 的每个元素上，然后从 C 中从 k+1 到 n 的每个元素中减去相同的数量（证明这一点）。这意味着我们只需要添加 T_k * (B[k+1] - B[k]) 并减去 U_k * (B[k+1] - B[k]) 从 S_k 到 S_k+1。

代数... S_k 的前 k 项只是 A[i] * (B[k] - B[i]) 从 0 到 k-1 的总和。

S的前k项_k+1是A[i] * (B[k+1] - B[i])从0到k-1的和

它们之间的差异是 (A[i] * (B[k+1] - B[i]) - (A[i] * (B[k]) 从 0 到 k-1 的总和- B[i])). 分解出 A[i] 项并取消 B[i] 项以获得 A[i] * (B[k+1] - B[ 的 0 到 k-1 的总和k])，也就是 T_k * (B[k+1] - B[k])。

对于 S_k 的最后 n-k-1 项类似。

由于我们可以在线性时间内计算 S₀、T₀ 和 U₀，我们可以从 S_k 到 S_k+1 在常数时间内，我们可以在线性时间内计算所有的 S_k。这样做，记住最小的，你就完成了。

使用逆排序排列得到原始数组的k。

【讨论】：

+1 表示正确的算法 - 我的答案省略了应用逆排序排列

【解决方案3】：

这是 O(NlogN) 的解决方案。示例

A 6 2 5 10 3 8 7
B 1 5 4 3  6 9 7

1) 首先将两个数组按B的顺序进行排序。A的元素只是与B绑定。排序后，我们得到

 A  6 10 5 2 3 7
 B  1 3  4 5 6 7

既然 B 已经准备好了。我们有

n-1
sum A[i]|B[i]-B[k]| 
i=0

 k-1                 n-1
=sum A[i](B[k]-B[i])+ sum A[i](B[k]-B[i])
 i=0                 i=k+1
      k-1       n-1          k-1           n-1
=B[k](sum A[i] -sum A[i]) - (sum A[i]B[i]- sum A[i]B[i])
      i=0      i=k+1        i=0           i=k+1

2) 我们计算数组 A 的前缀和 sumA=0 6 16 21 23 26 33

          i=e
With sumA sum A[i] can be calcuated in O(1) time for any s and e. 
          i=s

出于同样的原因，我们可以计算 A[i]B[i] 的前缀和。所以对于每个 k，要检查它的值，只需要 O(1) 时间。所以总时间复杂度是O(NlogN)+O(N).

【讨论】：