如何在matlab中用分段线性函数拟合数据，对斜率有一些限制

Question

我正在尝试为我的 (xdata, ydata) 数据拟合分段线性方程。我要挑战，第一个是如何将方程转换为函数句柄的形式，第二个是如何对斜率进行约束，例如a2>a1和a2>0和a1>0。

xdata = 5:0.2:40;
ydata = max(18,xdata) + 0.5*randn(size(xdata));
a1 = (y1-y0)/(x1-x0); a2 = (y2-y1)/(x2-x1);
if x < x1;
    f(x) = y0 + a1*(x-x0);
else
    f(x) = y0 + a1*(x1-x0) + a2*(x-x1);
end
FU = matlabFunction(f)
x0 = 5; y0 = 16;
x = lsqcurvefit(FU,[x0,y0],xdata,ydata)

Answer 1

创建分段函数的关键是将if 条件替换为矢量化>。通过在某个数组x 上调用y = x > 1，输出y 将是一个与x 大小相同的数组，如果x 中的对应元素大于1，则为逻辑True，并且False 否则。例如

>> x = [1, 2, 4; 3, 1, 2];
>> y = x > 2
y =

  2×3 logical array

   0   0   1
   1   0   0

您可以利用它来创建分段线性函数，如下所示：

>> fun = @(theta, xdata) theta(1) + ...
                         (xdata<=theta(2)) .* theta(3) .* xdata + ...
                         (xdata>theta(2)) .* (theta(3) * theta(2) + ...
                                              theta(4) .* (xdata-theta(2)))

参数向量theta 将是 4 维的：第一个元素是从零开始的恒定偏移量，第二个元素是角点，第三个和第四个元素是两个斜率。

通过将theta(3).*xdata 与xdata<=theta(2) 的结果相乘，对于xdata 中小于theta(2) 的每个点，您将得到theta(3).*xdata，对于所有其他点，您将得到0。

那么，调用lsqcurvefit就这么简单

>> theta = lsqcurvefit(fun, [0; 15; 0; 1], xdata, ydata)

theta =

   18.3793
   17.9639
   -0.0230
    0.9943

lsqcurvefit 函数还允许您为要估计的变量指定下限lb 和上限ub。对于您不想指定界限的变量，您可以使用例如inf 绑定。为了确保您的a1 和a2，即theta(3) 和theta(4) 是正数，我们可以将下限指定为[-inf, -inf, 0, 0]。

但是，lsqcurvefit 函数不允许您添加约束 a2 > a1（或任何线性不等式约束）。在示例数据中，这个约束可能甚至没有必要，因为这从数据中很明显。否则，一个可能的解决方案是将a2 替换为a1 + da，并为da 使用0 的下限。这可以确保a2 >= a1。

>> fun = @(theta, xdata) theta(1) + ...
                         (xdata<=theta(2)) .* theta(3) .* xdata + ...
                         (xdata>theta(2)) .* (theta(3) * theta(2) + ...
                                             (theta(3)+theta(4)) .* (xdata-theta(2)))
>> theta = lsqcurvefit(fun, [0; 15; 0; 1], xdata, ydata, [-Inf, -Inf, 0, 0], [])

theta =

   18.1162
   18.1159
    0.0000
    0.9944