对称矩阵检查：公差如何工作？

Question

我有一个矩阵 (mat1)。测试对称性时：

isSymmetric(mat1,tol = 0)

错误

这意味着在零容差下，矩阵不是对称的。然而，以稍大的容差进行测试，矩阵被认为是对称的：

isSymmetric(mat1,tol = 10 * .Machine$double.eps)

是的

但是，对称条目之间的最大差异大于此容差值：

max(abs(mat1-t(mat1))) > (10 * .Machine$double.eps)

是的

为什么，当存在大于容差值的对称差时，矩阵会被归类为对称矩阵？

对于使用 ?glm 示例的工作示例：

counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
outcome <- gl(3,1,9)
treatment <- gl(3,3)
d.AD <- data.frame(treatment, outcome, counts)
glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())
mat1 <- solve(vcov(glm.D93))

isSymmetric(mat1,tol=0) # FALSE
isSymmetric(mat1,tol=10 * .Machine$double.eps) # TRUE
max(abs(mat1-t(mat1))) > (10 * .Machine$double.eps) # TRUE 

我可能不明白宽容是如何运作的；我的想法是大于公差阈值的值会使矩阵对称性测试失败，显然不是这样。

Answer 1

@BenBolker 告诉您查看 isSymmetric 的帮助页面，该页面会将您引导至all.equal。你建立了这个矩阵：

> mat1
            (Intercept)     outcome2     outcome3   treatment2   treatment3
(Intercept)         150 4.000000e+01 4.700000e+01 5.000000e+01 5.000000e+01
outcome2             40 4.000000e+01 2.237910e-14 1.333333e+01 1.333333e+01
outcome3             47 2.476834e-14 4.700000e+01 1.566667e+01 1.566667e+01
treatment2           50 1.333333e+01 1.566667e+01 5.000000e+01 2.710506e-14
treatment3           50 1.333333e+01 1.566667e+01 2.818926e-14 5.000000e+01

all.equal 中的测试是tolerance = .Machine$double.eps ^ 0.5，因此您的所有测试实际上都与没有参数的测试相同。 （在非常小的数字的情况下，sqrt 实际上要大一些。）请注意，还有一个关于行名和列名相等性的附加测试，您的示例会满足这些测试。

如果您查看帮助页面，您应该怀疑您对 all.equal 可能在做什么的理解，当您看到 sthat is testing ‘near equality’ 然后将您引向其中显示的详细信息：

 Numerical comparisons for scale = NULL (the default) are done by first computing the mean 
 absolute difference of the two numerical vectors.

在代码中，您可以看到测试的不是相对于容差的个体差异，而是平均绝对差异。