在内存中存储对称矩阵的最佳方式是什么？
在不影响速度和结构复杂性的情况下节省一半的空间会很好。这是一个与语言无关的问题，但如果您需要做出一些假设，只需假设它是一种很好的老式普通编程语言，如 C 或 C++..
如果有办法让事情变得简单，或者矩阵本身真的很大，这似乎是有意义的，对吗？
为了形式，我的意思是这个断言对于我想要存储的数据总是正确的
matrix[x][y] == matrix[y][x]
【问题讨论】：
这是一个存储对称矩阵的好方法，它只需要 N(N+1)/2 个内存：
int fromMatrixToVector(int i, int j, int N)
{
if (i <= j)
return i * N - (i - 1) * i / 2 + j - i;
else
return j * N - (j - 1) * j / 2 + i - j;
}
对于一些三角矩阵
0 1 2 3
4 5 6
7 8
9
一维表示（例如存储在std::vector）如下所示：
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
并且调用fromMatrixToVector(1, 2, 4)返回5，所以矩阵数据为vector[5] -> 5。
【讨论】：
(2*N - i - 1)*i/2 + j
如果你想使用一维数组，代码看起来像这样：
int[] new matrix[(rows * (rows + 1 )) >> 1];
int z;
matrix[ ( ( z = ( x < y ? y : x ) ) * ( z + 1 ) >> 1 ) + ( y < x ? y : x ) ] = yourValue;
如果您创建一个额外的查找表，您可以摆脱乘法：
int[] new matrix[(rows * (rows + 1 )) >> 1];
int[] lookup[rows];
for ( int i= 0; i < rows; i++)
{
lookup[i] = (i * (i+1)) >> 1;
}
matrix[ lookup[ x < y ? y : x ] + ( x < y ? x : y ) ] = yourValue;
【讨论】：
我会尝试一个三角矩阵，像这样：
int[][] sym = new int[rows][];
for( int i = 0; i < cols; ++i ) {
sym=new int[i+1];
}
但是当有人想要访问“另一面”时，您将不得不面对这个问题。例如，他想访问 [0][10] 但在您的情况下，此 val 存储在 [10][0] 中（假设为 10x10）。
可能“最好”的方式是懒惰的方式——在用户请求之前不要做任何事情。因此，如果用户键入 print(matrix[4]) 之类的内容，您可以加载特定行。
【讨论】：
sym[i] = new int[i + 1]吗？
我发现很多高性能包只存储整个矩阵，然后只读取上三角或下三角。然后，他们可能会在计算期间使用额外的空间来存储临时数据。
但是，如果存储确实是一个问题，那么只需将构成上三角形的 n(n+1)/2 元素存储在一维数组中即可。如果这让您的访问变得复杂，只需定义一组辅助函数即可。
在 C 中访问矩阵 matA 你可以定义一个宏：
#define A(i,j, dim) ((i <= j)?matA[i*dim + j]:matA[j*dim + i])
那么您几乎可以正常访问您的数组。
【讨论】：
dim 行的方阵，A(i, j, dim) 返回一维数组中i,j 的索引。
n(n+1)/2 存储。
如果您的语言支持，您可以使用交错数组（或其他任何名称），并且当 x
一个 n x n 矩阵的伪代码（有点 Python 风格，但不是真的）：
matrix[n][]
for i from 0 to n-1:
matrix[i] = some_value_type[i + 1]
[next, assign values to the elements of the half-matrix]
然后在引用值时......
if x < y:
return matrix[y][x]
else:
return matrix[x][y]
【讨论】：
如果您正在使用支持运算符重载的东西（例如 C++），那么透明地处理它非常容易。只需创建一个矩阵类来检查两个下标，如果第二个大于第一个，则交换它们：
template <class T>
class sym_matrix {
std::vector<std::vector<T> > data;
public:
T operator()(int x, int y) {
if (y>x)
return data[y][x];
else
return data[x][y];
}
};
目前我已经跳过了其他所有内容，只介绍了下标。实际上，要正确处理作为左值和右值的使用，您通常希望直接返回代理而不是 T。您需要一个将 data 创建为三角形的 ctor（即，对于 NxN 矩阵，第一行将有 N 个元素，第二行将有 N-1，依此类推——或者，等价于 1、2、.. .N)。您也可以考虑将 data 创建为单个 vector - 您必须计算正确的偏移量，但这并不是非常困难，而且它会使用更少的内存，运行得更快等等。我d 对第一个版本使用简单的代码，如果需要，稍后进行优化。
【讨论】：