向量值函数梯度的特征值答案

【问题标题】：Eigenvalue of the gradient of a vector valued function向量值函数梯度的特征值
【发布时间】：2016-11-06 22:13:46
【问题描述】：

向量（delta V）的梯度如何变成 3x3 矩阵？以及如何有效地计算其特征值？是否有任何 C++ 库可以做到这一点（C++ 库 Eigen 可以做到这一点）？

【问题讨论】：

en.wikipedia.org/wiki/Gradient#Gradient_of_a_vector。是的，特征可以计算矩阵的特征值......所以使用它或其他库，如犰狳
是的，我读过那篇文章。梯度是单行向量，怎么变成3x3？如果我给 Eigen 一个向量，它可以把它变成一个 3x3 矩阵吗？
因为你在 3 个维度上有不同的导数。不，你必须自己渲染你的矩阵。

【解决方案1】：

gradient 是对具有多个变量的函数的导数的推广。它由函数的所有偏导数组成，因此每个变量都有一个导数。

对于标量值 N 变量函数scalar y = f(x1, ..., xN)，梯度是具有 N 个标量元素的向量。
进一步推广到一个向量值函数vector y = f(x1, ..., xN)，（其中向量有N个元素，函数有N个标量变量），梯度可以被认为是一个具有N个向量元素的向量，实际上是一个具有NxN个元素的矩阵，也称为Jacobian。

在你的情况下，函数必须像vector3 y = f(x1, x2, x3)，所以梯度是一个 3x3 矩阵。

您可以像计算任何其他矩阵一样计算它的特征值，例如使用Eigen decomposition。顾名思义，Eigen 线性代数库确实提供了这样的功能。

【讨论】：

可能值得注意的是，一般来说，由任意向量场的导数形成的矩阵不会是对称的。这意味着该矩阵的特征分解可能涉及复数。另一方面，如果向量本身是标量函数的导数，则二阶导数矩阵将是对称的半实值特征值。