matlab中结构张量的特征值分解

Question

我有一个合成图像。为了某些边缘检测目的，我想对其局部结构张量（LST）进行特征值分解。我使用LST的特征值l1、l2和特征向量e1、e2为图像的每个像素生成一个自适应椭圆。不幸的是，我得到不相等的特征值 l1 ， l2 ，因此对于我的图形的均匀区域，椭圆的半轴长度不相等：

但是，对于一个简单的测试图像，我得到了很好的响应：

我不知道我的代码有什么问题：

function [H,e1,e2,l1,l2] = LST_eig(I,sigma1,rw)

%  LST_eig - compute the structure tensor and its eigen
% value decomposition
%
%   H = LST_eig(I,sigma1,rw);
%
%   sigma1 is pre smoothing width (in pixels).
%   rw is filter bandwidth radius for tensor smoothing (in pixels).
%


n = size(I,1);
m = size(I,2);
if nargin<2
    sigma1 = 0.5;
end
if nargin<3
    rw = 0.001;
end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% pre smoothing
J = imgaussfilt(I,sigma1);
% compute gradient using Sobel operator
Sch = [-3 0 3;-10 0 10;-3 0 3];
%h = fspecial('sobel');
gx = imfilter(J,Sch,'replicate');
gy = imfilter(J,Sch','replicate');

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% compute tensors

gx2 = gx.^2;
gy2 = gy.^2;
gxy = gx.*gy;

% smooth
gx2_sm = imgaussfilt(gx2,rw); %rw/sqrt(2*log(2))
gy2_sm = imgaussfilt(gy2,rw);
gxy_sm = imgaussfilt(gxy,rw);
H = zeros(n,m,2,2);
H(:,:,1,1) = gx2_sm; 
H(:,:,2,2) = gy2_sm; 
H(:,:,1,2) = gxy_sm; 
H(:,:,2,1) = gxy_sm; 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% eigen decomposition
l1 = zeros(n,m);
l2 = zeros(n,m);
e1 = zeros(n,m,2);
e2 = zeros(n,m,2);
for i = 1:n
    for j = 1:m
        Hmat = zeros(2);
        Hmat(:,:) = H(i,j,:,:);
        [V,D] = eigs(Hmat);
        D = abs(D);
        l1(i,j) = D(1,1); % eigen values
        l2(i,j) = D(2,2); 
        e1(i,j,:) = V(:,1); % eigen vectors
        e2(i,j,:) = V(:,2); 
    end
end

感谢任何帮助。

这是我的椭圆绘制代码：

% determining ellipse parameteres from eigen value decomposition of LST

M = input('Enter the maximum allowed semi-major axes length: ');
I = input('Enter the input data: ');

row = size(I,1);
col = size(I,2);
a = zeros(row,col);
b = zeros(row,col);
cos_phi = zeros(row,col);
sin_phi = zeros(row,col);


for m = 1:row
  for n = 1:col

    a(m,n) = (l2(m,n)+eps)/(l1(m,n)+l2(m,n)+2*eps)*M;
    b(m,n) = (l1(m,n)+eps)/(l1(m,n)+l2(m,n)+2*eps)*M;

    cos_phi1 = e1(m,n,1);
    sin_phi1 = e1(m,n,2);
    len = hypot(cos_phi1,sin_phi1);           
    cos_phi(m,n) = cos_phi1/len;
    sin_phi(m,n) = sin_phi1/len;

  end
end

%% plot elliptic structuring elements using parametric equation and superimpose on the image 


figure; imagesc(I); colorbar; hold on

t = linspace(0,2*pi,50);

for i = 10:10:row-10
  for j = 10:10:col-10
    x0 = j;
    y0 = i;

    x = a(i,j)/2*cos(t)*cos_phi(i,j)-b(i,j)/2*sin(t)*sin_phi(i,j)+x0;
    y = a(i,j)/2*cos(t)*sin_phi(i,j)+b(i,j)/2*sin(t)*cos_phi(i,j)+y0;

    plot(x,y,'r','linewidth',1);
    hold on
  end
end 

这是我使用高斯导数内核的新结果：

这是axis equal的新情节：

Answer 1

我创建了一个类似于你的测试图像（可能不太复杂），如下所示：

pos = yy([400,500]) + 100 * sin(xx(400)/400*2*pi);
img = gaussianlineclip(pos+50,7) + gaussianlineclip(pos-50,7);
I = double(stretch(img));

（这需要DIPimage 才能运行）

然后在上面运行你的LST_eig（sigma1=1 和rw=3）和绘制椭圆的代码（两者都没有变化，除了添加axis equal），得到了这个结果：

我怀疑图像的某些蓝色区域存在不均匀性，这会导致出现非常小的渐变。使用椭圆时定义椭圆的问题在于，对于足够定向的模式，即使该模式难以察觉，您也会得到一条线。您可以通过如下定义椭圆轴长度来解决此问题：

a = repmat(M,size(l2)); % longest axis is always the same
b = M ./ (l2+1); % shortest axis is shorter the more important the largest eigenvalue is 

最小特征值l1在梯度强但方向不明确的区域较高。上面没有考虑到这一点。一种选择是使a 依赖于能量和各向异性测量，而b 仅依赖于能量：

T = 1000; % some threshold
r = M ./ max(l1+l2-T,1); % circle radius, smaller for higher energy
d = (l2-l1) ./ (l1+l2+eps); % anisotropy measure in range [0,1]
a = M*d + r.*(1-d); % use `M` length for high anisotropy, use `r` length for high isotropy (circle)
b = r; % use `r` width always

这样，如果有强梯度但没有明确的方向，整个椭圆会缩小，而当只有弱梯度或没有梯度时，它会保持大而圆形。阈值T取决于图像强度，根据需要调整。

您可能还应该考虑取特征值的平方根，因为它们对应于方差。

一些建议：

1. 你可以写

   a = (l2+eps)./(l1+l2+2*eps) * M;
   b = (l1+eps)./(l1+l2+2*eps) * M;
   cos_phi = e1(:,:,1);
   sin_phi = e1(:,:,2);
   

   没有循环。注意e1是按定义归一化的，不需要再归一化。

2. 使用 Gaussian gradients 代替高斯平滑，然后使用 Sobel 或 Schaar 滤波器。请参阅here 了解一些 MATLAB 实现细节。

3. 当您需要所有特征值时，使用eig，而不是eigs。尤其是这么小的矩阵，使用eigs没有任何优势。 eig 似乎产生了更一致的结果。无需取特征值 (D = abs(D)) 的绝对值，因为它们根据定义是非负的。

4. 您的默认值 rw = 0.001 太小了，该大小的 sigma 对图像没有影响。这种平滑的目标是平均局部邻域中的梯度。我用rw=3 效果很好。

5. 使用 DIP 图像。有一个structuretensor 函数、高斯梯度和更多有用的东西。 The 3.0 version (still in development) 是一个重大改写，显着改进了处理向量和矩阵值图像。我可以把你所有的LST_eig写成如下：

   I = dip_image(I);
   g = gradient(I, sigma1);
   H = gaussf(g*g.', rw);
   [e,l] = eig(H);
   % Equivalences with your outputs:
   l1 = l{2};
   l2 = l{1};
   e1 = e{2,:};
   e2 = e{1,:};