找到一组特征向量的对应特征值答案

【问题标题】：Finding corresponding eigenvalues to a set of eigenvector找到一组特征向量的对应特征值
【发布时间】：2020-01-02 19:29:03
【问题描述】：

我使用 Python 解决了大部分作业，但不确定如何输入（甚至理解）剩余信息。你不应该找到给定特征值的特征向量，因此它出现在下面的相反：

令对称的 3 × 3 矩阵 A 为 A = ((1 2 1), (2 5 0), (1 0 5))

如果A有以下三个特征向量，则求三个对应的特征值：
v1 = ((-5), (2), (1)); v2 = ((0), (-1), (2)); v3 = ((1), (2), (1))

【问题讨论】：

这听起来像是一道数学题，而不是编程题。为什么你甚至需要编写代码来解决这个问题？每个特征向量都有一个特征值，但每个特征值可以有多个特征向量（甚至是归一化的）。找到特征向量的特征值是计算（部分）矩阵与向量的乘积。

标签： python matrix eigenvalue eigenvector

【解决方案1】：

给定一个矩阵arr和一个向量vec，如果vec是arr的特征向量，那么：

np.dot(arr, vec) == lambda_ * vec

因此，遍历np.dot(arr, vec) / vec 的所有值（最终忽略作为潜在特征向量的空向量，并抑制潜在除以零的错误），将揭示特征值：

import numpy as np


def find_eigenvalue(arr, vec):
    result = None
    if not np.all(np.isclose(vec, 0.0)):
        with np.errstate(divide='ignore', invalid='ignore'):
            for x, y in zip(np.dot(arr, vec), vec):
                if np.isclose(y, 0.0) and np.isclose(x, 0.0):
                    continue
                if result is None:
                    result = x / y
                elif not np.isclose(result, x / y):
                    result = None
                    break
    return result

按预期工作：



print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, 0, 0])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([1, 0, 0])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, 1, 0])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, 0, 1])))
# None
print(find_eigenvalue(arr, np.array([0, -1, 2])))
# 5
print(find_eigenvalue(arr, np.array([-5, 2, 1])))
# -0.0
print(find_eigenvalue(arr, np.array([1, 2, 1])))
# 6.0

最后，请注意np.linalg.svd() 也会计算所有这些：

u, s, vh = np.linalg.svd(arr)

和s 将包含特征值，u 和vh 将包含特征向量（更准确地说，u 中的左奇异特征向量和vh 中的右奇异特征向量的厄米特） .

【讨论】：

【解决方案2】：

考虑特征向量的定义。由矩阵 A 表示的线性变换的特征向量 v 是一个向量，当该线性变换应用于它时，它只改变大小而不改变方向。特征向量大小的标量变化是它的特征值。你有一个线性变换，并且你已经得到了它的特征向量 - 要找到特征值，你需要做的就是将变换应用于特征向量并确定每个特征向量被缩放的标量。

【讨论】：