Lotka-Volterra 方程：错误解

Question

我在 Python 上使用四阶 Runge-Kutta 编写了一段代码来求解 Lotka-Volterra 方程，但由于某种原因它不起作用，解完全错误。老实说，我不明白我做错了什么。

import numpy
from pylab import plot, show


def rk(f, x, h):
    f_1 = f(x)
    f_2 = f(x+1./2*h*f_1)
    f_3 = f(x+1./2*h*f_2)
    f_4 = f(x+h*f_3)
    return x+1./6*h*(f_1+2*f_2+2*f_3+f_4)


def lv(x):
    alpha = 1.
    return numpy.array([alpha*x[0]-x[0]*x[1], x[0]*x[1]-x[1]], float)


a = 0.
b = 10.
m = 100
T = numpy.linspace(a, b, m)
H = (b-a)/m
X = numpy.zeros((m, 2))
X[0, :] = [1., 30.]

for i in range(1, m):
    X[i, :] = rk(lv, X[i-1, :], H)

plot(T, X)
show()

非常感谢您的帮助。

Answer 1

将积分间隔扩大到 100 并相应地增加步数以观察解的周期性行为，我得到的周期约为 34.6，峰值相当小。

从生态的角度考虑，捕食者数量为 30，猎物数量为 1，具有明显的捕食性。当然，猎物迅速减少到接近零，然后捕食者也饿到零，然后猎物种群慢慢恢复，直到其指数增长触发捕食者指数增长，循环重新开始。

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请注意，您的时间离散化步骤是(b-a)/(m-1)，请检查T[1]-T[0]。要获得步长为H=(b-a)/m 的m 间隔，您需要T=linspace(a,b,m+1) 并相应地增加x 数组和积分循环。