将 random.random 均匀转换为指数分布不会产生正确的结果

Question

我正在尝试生成一个合成地震数据库，其中震级 ($M$) 在 $[M, M+\delta_M]$ 范围内的事件数 ($N$) 如下：
$\log_{10}(N) = a - bM$
其中 $a$ 和 $b$ 是常量。

我正在尝试使用 random 模块在 Python 中执行此操作。我知道我可以（或者至少我认为我可以 - 因为我还没有尝试过）使用 random.expovariate 但我认为我可以使用 random.random 进行如下转换：

-math.log10(random.random()))

我对 2,000,000 个样本运行此程序，然后将这些样本分箱到 0.1 个箱中并以对数刻度绘制。

红线表示用于生成合成样本的理论分布。

我不担心 x=4.5 以上的变化。这是由于点数少和自然随机性所致。我要问的是 x=0 附近点的非常小的（在这个比例下）变化。我从理论（蓝点）绘制了合成点的变化：

随着 x 的减少，事件的数量呈指数增长，因此与理论的变化应该减少 - 而不是增加。而 x=0 处的点则相反。

为了尝试找出我的问题所在，我编写了生成从 0 到 1 的数字的代码，步骤非常精细。然后每个数字都经过上述功能。结果（上图中的蓝点）是纯线性的，与理论值完全匹配。这说明我的转换函数和代码都没有问题。

所以上图中的 twp 点集之间的唯一区别是蓝色点是由对随机函数的 2,000,000 次调用生成的（然后将结果转换为幅度并分箱），而对于红色点我已经在 0 和 1 之间采取 2,000,000 步均匀（然后将结果转换为幅度并使用相同的代码进行分箱）。

所以我认为这与随机数生成器有关？

如果有任何指点，将不胜感激。谢谢。

[添加] 按照@Arty 的建议，将调用从random.random 更改为random.uniform(0,1)，错误现在是对称分布的并且具有预期的大小。已在图中添加了 +- 1 个标准差。

显然random() 和uniform(0,1) 的做法略有不同。

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我使用random.random、random.uniform(0,1)、np.random.random 和np.random.uniform(0, 1) 减少了我的代码并计算了合成数据，获得了 2,000,000 分。

对结果进行分箱并绘制观察到的数字与预期数字之间的差异（如下）。

还添加了 +-1 标准偏差限制。这些数字都是对称分布的，并且大小正确，表明所有随机生成器都工作正常。

我的结论是，在更改/优化代码的某个地方，我引入了一个现在已经丢失的问题。我非常想找到那个错误，所以我不会再犯了！

令我惊讶的是，我原来的错误代码能够正确执行，以至于它生成了一个看起来真实的合成，只有难以检测的轻微异常。

感谢大家的帮助，并向那些我不同意我说问题不在于随机数生成器的人道歉！

Answer 1

最初我以为您可能遇到了一些数值分析问题。然而，在 python 中尝试一百万个样本，我得到以下观察结果：

>>> T = int(1e6)
>>> xs = [ -math.log10(random.random()) for i in range(T)]
>>> len([x for x in xs if 0 <= x < 0.1])
205614
>>> len([x for x in xs if 0.1 <= x < 0.2])
163736
>>> len([x for x in xs if 0.2 <= x < 0.3])
129627
>>> len([x for x in xs if 0.3 <= x < 0.4])
103413
>>> len([x for x in xs if 0.4 <= x < 0.5])
81734

如果 X = -log_10(x) 且 x 均匀分布在 [0, 1) 上，那么我们应该有

P(M <= X < M + d) = P(-M-d < log_10(x) <= -M) = 10^(-M) - 10^(-M-d)

而且上面的数字基本上完全符合这些概率，例如

1 - 10^(-0.1) = 0.205672

这与我们在上述 100 万次试验中观察到的 205614 次非常吻合。

你得到的结果与我上面的 python 代码不同吗？