使用 JTransforms 库通过 FFT 计算自相关

Question

我正在尝试使用以下代码计算时间序列中示例窗口的自相关性。我将 FFT 应用于该窗口，然后计算实部和虚部的大小并将虚部设置为零，最后对其进行逆变换以获得自相关：

DoubleFFT_1D fft = new DoubleFFT_1D(magCnt);
fft.realForward(magFFT);

magFFT[0] = (magFFT[0] * magFFT[0]);
for (int i = 1; i < (magCnt - (magCnt%2)) / 2; i++) {
    magFFT[2*i] = magFFT[2*i] * magFFT[2*i] + magFFT[2*i + 1] * magFFT[2*i + 1];
    magFFT[2*i + 1] = 0.0;
}

if (magCnt % 2 == 0) {
    magFFT[1] = (magFFT[1] * magFFT[1]);
} else {
    magFFT[magCnt/2] = (magFFT[magCnt-1] * magFFT[magCnt-1] + magFFT[1] * magFFT[1]);
}

autocorr = new double[magCnt];
System.arraycopy(magFFT, 0, autocorr, 0, magCnt);
DoubleFFT_1D ifft = new DoubleFFT_1D(magCnt);
ifft.realInverse(autocorr, false);

for (int i = 1; i < autocorr.length; i++)
    autocorr[i] /= autocorr[0];
autocorr[0] = 1.0;

第一个问题是：可以看出这段代码将自相关结果映射到[0,1]范围，虽然相关性应该在-1和1之间。当然很容易将结果映射到[-1,1]范围，但我不确定这个映射是否正确。我们如何解释生成的 autocorr 数组中的值？

其次，使用此代码，我在某些周期性序列中得到了很好的结果，也就是说，我根据信号的周期为特定的自相关指数获得了更高的值。但是，当我将其应用于非周期性信号时，结果变得很奇怪：autocorr 数组中的所有值似乎都非常接近 1。这是什么原因？

Answer 1

要使基于 FFT 的算法正常工作，您必须特别注意定义，包括您使用的库的约定。您似乎混淆了 AC 的“信号处理”约定和“统计”约定。然后是 FFT 换行和零填充。

这是一个适用于偶数 N 情况的代码，即信号处理约定。它针对蛮力包装的自相关进行了测试。 cmets 展示了如何将其转换为信号处理约定。对于统计 ac，减去数据的平均值。这可以通过将 FFT 的“0Hz”分量归零来完成。那么 ac 的第零个元素就是方差，你可以通过除以这个量来归一化。如您所说，结果值将落在-1..1。

您的代码似乎在进行除法，但并未忽略数据的 0 Hz 分量。所以它正在计算某种约定的混搭。

import edu.emory.mathcs.jtransforms.fft.DoubleFFT_1D;
import java.util.Arrays;

public class TestFFT {

    void print(String msg, double [] x) {
        System.out.println(msg);
        for (double d : x) System.out.println(d);
    }

    /**
     * This is a "wrapped" signal processing-style autocorrelation. 
     * For "true" autocorrelation, the data must be zero padded.  
     */
    public void bruteForceAutoCorrelation(double [] x, double [] ac) {
        Arrays.fill(ac, 0);
        int n = x.length;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                ac[j] += x[i] * x[(n + i - j) % n];
            }
        }
    }

    private double sqr(double x) {
        return x * x;
    }

    public void fftAutoCorrelation(double [] x, double [] ac) {
        int n = x.length;
        // Assumes n is even.
        DoubleFFT_1D fft = new DoubleFFT_1D(n);
        fft.realForward(x);
        ac[0] = sqr(x[0]);
        // ac[0] = 0;  // For statistical convention, zero out the mean 
        ac[1] = sqr(x[1]);
        for (int i = 2; i < n; i += 2) {
            ac[i] = sqr(x[i]) + sqr(x[i+1]);
            ac[i+1] = 0;
        }
        DoubleFFT_1D ifft = new DoubleFFT_1D(n); 
        ifft.realInverse(ac, true);
        // For statistical convention, normalize by dividing through with variance
        //for (int i = 1; i < n; i++)
        //    ac[i] /= ac[0];
        //ac[0] = 1;
    }

    void test() {
        double [] data = { 1, -81, 2, -15, 8, 2, -9, 0};
        double [] ac1 = new double [data.length];
        double [] ac2 = new double [data.length];
        bruteForceAutoCorrelation(data, ac1);
        fftAutoCorrelation(data, ac2);
        print("bf", ac1);
        print("fft", ac2);
        double err = 0;
        for (int i = 0; i < ac1.length; i++)
            err += sqr(ac1[i] - ac2[i]);
        System.out.println("err = " + err);
    }

    public static void main(String[] args) {
        new TestFFT().test();
    }
}