将矩阵的每一行乘以另一个矩阵

Question

假设我有以下矩阵

B = [1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12]

还有另一个矩阵

A = [a b c;d e f;g h i]

如何将矩阵 B 的每一行乘以矩阵 A（不使用 for 循环），即

for i = 1:4
    c(i) = B(i,:)*A*B(i,:)'
end

非常感谢。

Answer 1

你可以使用：

c = diag(B*A*B.');

但是，这计算整个 4×4 矩阵只是为了提取其对角线，因此效率不高。

仅计算所需值的更有效方法是：

c = sum(bsxfun(@times, permute(sum(bsxfun(@times, B, permute(A, [3 1 2])), 2), [1 3 2]), B), 2);

以下是上述代码的细分：

c1 = sum(bsxfun(@times, B, permute(A, [3 1 2])), 2); % B(i,:)*A
c = sum(bsxfun(@times, permute(c1, [1 3 2]), B), 2); % (B(i,:)*A)*B(i,:)'

使用第一个permute 以便B 中的列数与A 中的列数相匹配。在bsxfun() 中的逐元素乘法之后，将每一行相加（请记住，permute 将行移动到第二维），再现了向量矩阵乘法的效果 B(i,:) * A 出现在for 循环中。

在第一个sum 之后，第二个维度是一个单一维度。因此，我们使用第二个permute 将第二维移动到第三维并生成一个二维矩阵。现在，c1 和 B 的大小相同。在第二个bsxfun() 中的元素乘法之后，每列被求和（记住，permute 将列移回第二维），再现 B(i,:) 的效果* A * B(i,:)'.

请注意这种方法的一个隐藏优势。由于我们使用逐元素乘法来复制矩阵乘法的结果，因此在 bsxfun() 调用中参数的顺序并不重要。少一件需要担心的事情！

或者，从 Matlab R2016b 开始，您可以将 bsxfun(@times,...) 替换为 .*，感谢 implicit expansion：

c = sum(permute(sum(B.*permute(A, [3 1 2]), 2), [1 3 2]).*B, 2);