求解一个简单的线性方程答案

【问题标题】：Solving a simple linear equation求解一个简单的线性方程
【发布时间】：2015-02-25 05:44:02
【问题描述】：

假设我需要解以下方程，

ax + by = c

其中a、b 和c 是已知值，x、y 是介于 0 和 10（含）之间的自然数。

除了平凡的解决方案，

for (x = 0; x <= 10; x++)
    for (y = 0; y <= 10; y++)
         if (a * x + b * y == c)
             printf("%d %d", x, y);

...有没有办法有效地找到这个独立系统的所有解决方案？

【问题讨论】：

标签： algorithm linear-algebra linear-equation

【解决方案1】：

在您的情况下，由于 x 和 y 只取 0 和 10 之间的值，因此蛮力算法可能是最佳选择，因为它需要更少的时间来实现。

但是，如果您必须在更大的范围内找到所有积分解 (x, y) 对，您确实应该使用正确的数学工具来解决这个问题。

您正在尝试求解线性丢番图方程，并且众所周知，当且仅当 a 和 b 的最大公约数 d 除以 c 时，积分解才存在 em>。

如果解决方案不存在，那么你就完成了。否则，您应该首先应用Extended Euclidean Algorithm 来找到方程ax + by = d 的特殊解。

根据Bézout's identity，所有其他积分解的形式为：

其中k 是任意整数。

但请注意，我们对ax + by = c 的解决方案感兴趣，我们必须将所有(x, y) 对缩放c / d 的系数。

【讨论】：

【解决方案2】：

你只需要遍历 x，然后计算 y。 (x, y) 是一个解，如果 y 是整数，并且在 0 到 10 之间。

在 C 中：

for (int x = 0; x <= 10; ++x) {
    double y = (double)(c - ax) / b;
    // If y is an integer, and it's between 0 and 10, then (x, y) is a solution
    BOOL isInteger = abs(floor(y) - y) < 0.001;
    if (isInteger && 0 <= y && y <= 10) {
        printf("%d %d", x, y);
    }
}

【讨论】：

【解决方案3】：

您可以通过直接检查(c-a*x)/b 是否为整数来避免第二个for 循环。

编辑：由于我在 cmets 中指出的一些粗心疏忽，我的代码没有我希望的那么干净，但它仍然比嵌套的 for 循环快。

int by;
for (x = 0; x <= 10; x++) {
    by = c-a*x;                         // this is b*y

    if(b==0) {                          // check for special case of b==0
        if (by==0) {
            printf("%d and any value for y", x);
        }
    } else {                            // b!=0 case
        y  = by/b;                  
        if (by%b==0 && 0<=y && y<=10) { // is y an integer between 0 and 10?
            printf("%d %d", x, by/b);
        }
    }
}

【讨论】：

y 也需要介于 0 和 10 之间。
当b为0时会发生什么？