具有给定特征值和特征向量的随机正半定矩阵

Question

有没有办法在 Python 中生成具有给定特征值和特征向量的随机半正定矩阵？

我查看了this，但它们不允许为矩阵构造指定特征值。

上下文：我想生成椭圆度受控的随机多元高斯分布，因为分布的长轴/短轴的长度与特征值成正比，我希望我的协方差矩阵具有它们。 Definiton could be found here (page 81).

Answer 1

当您没有特征向量但只想要一些特征值时，您可以列出所需的特征值并使用正交矩阵将它们混杂在一起。由于全等变换不会改变矩阵的惯性（达到数值精度），您可以使用随机矩阵的 QR 分解的 Q 矩阵（或生成正交矩阵的任何其他方式）。

import numpy as np
import scipy.linalg as la
des = [1, 0, 3, 4, -2, 0, 0]
n = len(des)
s = np.diag(des)
q, _ = la.qr(np.random.rand(n, n))
semidef = q.T @ s @ q
np.linalg.eigvalsh(semidef)

给了

array([-2.00000000e+00, -2.99629568e-16, -5.50063275e-18,  2.16993906e-16,
        1.00000000e+00,  3.00000000e+00,  4.00000000e+00])

当你实际上也有特征向量时，你可以简单地构造原始矩阵，这就是特征值分解的定义。