“随机”构造具有特定广义特征向量的对称/正定矩阵对？

Question

给定一个对称矩阵A和一个正定矩阵B，我们可以用scipy的scipy.linalg.eigh或matlab的eig求特征值和广义特征向量。

有没有相应的直接方法来做相反的事情？

例如，我如何生成一对对称/正定矩阵，使得与最大幅度特征值相关联的广义特征向量是一个特定向量v？

Answer 1

给定对称的 A 和对称的正定 B，generalized eigenvalue problem 是找到非奇异 P 和对角线 D 使得

A P = B P D

D 的对角线包含广义特征值，P 的列 是对应的广义特征向量。

对于这样的解，P和B满足B-正交条件

P.T B P = I

“逆向”问题可以表述为：给定非奇异 P 和对角线 D， 找到对称的 A 和对称的正定 B 使得

A P = B P D

这可以用一点代数来解决。 在左边乘以 P.T，并使用 B 正交：

P.T A P = D

所以

A = inv(P.T) D inv(P)

为了得到B，解决B-正交条件

B = inv(P.T) inv(P)
  = inv(P P.T)

这些是给定 P 和 D 的 A 和 B 的公式。