如何在给定旋转度数的螺旋上得到一个点？

Question

在这个问题中，我发现最能帮助解释我需要的东西是：Draw equidistant points on a spiral

然而，这并不是我想要的。

The spiral to draw is an archimedean spiral and the points obtained must be equidistant from each other.（引用：来自上面链接的问题。）

这正是我想要的阿基米德螺旋方程，。

用户可以输入一组特定的数据，它们不是基于螺旋线，而是基于圆形图形。它们如下：中心点[X,Y,Z]，半径，水平间距[可以称为X间距，取决于图形]，垂直间距[可以称为Y间距，取决于图形]，最重要的是度数的旋转。我希望水平分离是连续点之间的距离，因为它们之间的距离需要相同。我还希望垂直分离成为“平行”曲线之间的距离。

因此，鉴于特定的输入选择（是的，有些可以忽略），我如何遍历所有连续的等距点才能达到输入度数（可能非常大但有限）和返回那些点的每个点的 X 和 Y 点？

基本上我想要实现的是从零到输入度数的循环，考虑到所有其余的输入和我上面提到的偏好，并为所有等距的连续画一个点点（如果您决定使用代码表示，只需使用“打印”表示绘图）。

我很难解释，但我想我已经讲得很清楚了。这张图上的点正是我所需要的：

Answer 1

假设二维情况和一个以零 (a=0) 为中心的阿基米德螺线，因此使用等式 。然后连续的行将 分开，因此要获得 的“垂直间距”，请设置。

从中心到给定角度的点的弧长由Wolfram 给出，但他的解决方案很难使用。相反，我们可以将弧的长度（使用非常粗略的 for-large-theta 近似）近似为。重新排列，使我们能够确定哪些角度对应于所需的“水平间距”。如果这个近似值不够好，我会考虑使用像 Newton-Raphson 这样的东西。您链接到的问题也使用了近似值，尽管不是同一个。

最后，认识到极坐标 转换为笛卡尔坐标如下：; .

我得到以下信息：

这是由以下 MATLAB 代码生成的，但如果这是您真正需要的，它应该足够简单，可以转换为 C++。

% Entered by user
vertspacing = 1;
horzspacing = 1;
thetamax = 10*pi;

% Calculation of (x,y) - underlying archimedean spiral.
b = vertspacing/2/pi;
theta = 0:0.01:thetamax;
x = b*theta.*cos(theta);
y = b*theta.*sin(theta);

% Calculation of equidistant (xi,yi) points on spiral.
smax = 0.5*b*thetamax.*thetamax;
s = 0:horzspacing:smax;
thetai = sqrt(2*s/b);
xi = b*thetai.*cos(thetai);
yi = b*thetai.*sin(thetai);