当只有少数常数项发生变化时，如何有效地求解大型线性方程组。例如：
我目前有系统 Ax=b。我计算 A 的逆一次，将其存储在矩阵中，每次 b 中的任何条目更新执行矩阵向量乘法 A^-1(b) 以重新计算 x。
这是低效的，因为只有几个条目会在 b 中更新。当 A-1 保持不变但 b 中特定的已知值发生变化时，是否有更有效的方法来解决这个系统？
我使用 uBlas 和 Eigen，但不知道可以解决选择性重新计算这个问题的解决方案。感谢您的任何指导。
【问题讨论】：
标签： c++ linear-algebra blas eigen ublas
计算A^-1。如果b_i 是b 的第i 个分量，则检查d/db_i A^-1 b（A^-1 相对于b 的第i 个分量的导数）——它等于A^-1 的列（特别是，第 i 列）。并且线性函数的导数在其域上是常数。因此，如果您有b 和b'，并且它们仅在第i 个组件上有所不同，那么A^-1 b - A^-1 b' = [d/db_i A^-1] * (b-b')_i。对于多个组件，只需将它们相加即可（因为A^-1 是线性的）。
或者，简而言之，您可以对为零的输入组件进行一些优化来计算A^-1 (b'-b)（如果只有一些组件发生变化，则将是大部分组件）。 A^-1 b' = A^-1 (b'-b) + A^-1 (b)。如果您知道只有某些组件会发生变化，您可以复制A^-1 的相应列，然后将其乘以 b 的该组件的变化。
【讨论】：
你可以利用问题的线性：
x0 = A_(-1)*b0
x = A_(-1)*b = x0 + A_(-1)*db
其中 db 是 b 和 b0 之间的差异矩阵，应该用零填充：您可以将其压缩为稀疏矩阵。
Eigen lib 有很多很酷的稀疏矩阵函数（乘法、逆矩阵、...）。
【讨论】：
首先，不要执行矩阵求逆，而是使用求解器库。其次，将您的初始 x 作为初步猜测传递给库。
该库将执行某种类似于 LU 的分解，并使用它来计算 x。如果您选择迭代求解器，那么它已经在执行您描述的解决方案的大部分内容；它将从一个更差的猜测开始并产生一个更好的猜测，任何好的例程都需要一个初步的猜测来加速这个过程。在许多情况下，无论如何您都对结果有一个很好的了解，因此利用它是有意义的。
如果新的b 靠近旧的b，那么新的x 应该靠近旧的x，这将作为一个很好的初步猜测。
【讨论】：
首先，不要计算逆矩阵，而是使用 LU 分解或 QR 分解（比 LU 慢但更稳定）。这种分解在矩阵大小方面比反演性能更好，并且通常更稳定（尤其是 QR）。
如果 A 发生轻微变化（例如，通过一级矩阵），有一些方法可以更新 QR 分解，但如果 B 发生变化，您必须使用新的 b 再次求解——您无法逃避这一点，这是O(n^2)。
但是，如果右手边 B 只改变一个固定元素，即。 B' = B + dB 事先知道 dB，你可以一劳永逸地解决 A dx = dB，现在 Ax' = B' 的解决方案 x' 是 x + dX。
如果事先不知道dB，但总是几个dB_i向量的线性组合，你可以解出A dx_i = dB_i，但是如果你有很多这样的dB_i，你最终会得到一个n^2过程（这在事实上相当于计算逆）...
【讨论】：