Ax=b 线性代数系统的 C++ 内存高效解决方案

Question

我正在使用 Boost UBlas 的数值库绑定来解决一个简单的线性系统。 以下工作正常，除了它仅限于处理矩阵 A(m x m) 相对 小“m”。

实际上，我有一个更大的矩阵，尺寸 m= 10^6（最多 10^7）。
是否存在有效使用内存的解决 Ax=b 的现有 C++ 方法。

#include<boost/numeric/ublas/matrix.hpp>
#include<boost/numeric/ublas/io.hpp>
#include<boost/numeric/bindings/traits/ublas_matrix.hpp>
#include<boost/numeric/bindings/lapack/gesv.hpp>
#include <boost/numeric/bindings/traits/ublas_vector2.hpp>

// compileable with this command


//g++ -I/home/foolb/.boost/include/boost-1_38 -I/home/foolb/.boostnumbind/include/boost-numeric-bindings solve_Axb_byhand.cc -o solve_Axb_byhand -llapack


namespace ublas = boost::numeric::ublas;
namespace lapack= boost::numeric::bindings::lapack;


int main()
{
    ublas::matrix<float,ublas::column_major> A(3,3);
    ublas::vector<float> b(3);


    for(unsigned i=0;i < A.size1();i++)
        for(unsigned j =0;j < A.size2();j++)
        {
            std::cout << "enter element "<<i << j << std::endl;
            std::cin >> A(i,j);
        }

    std::cout << A << std::endl;

    b(0) = 21; b(1) = 1; b(2) = 17;

    lapack::gesv(A,b);

    std::cout << b << std::endl;


    return 0;
}

Answer 1

简短回答：不要使用 Boost 的 LAPACK 绑定，它们是为密集矩阵设计的， 不是稀疏矩阵，请改用UMFPACK。

长答案：UMFPACK 是在 A 大且稀疏时解决 Ax=b 的最佳库之一。

• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/
• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/UMFPACK/Doc/QuickStart.pdf

以下是生成简单的A 和b 的示例代码（基于umfpack_simple.c） 并解决Ax = b。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include "umfpack.h"

int    *Ap; 
int    *Ai;
double *Ax; 
double *b; 
double *x; 

/* Generates a sparse matrix problem: 
   A is n x n tridiagonal matrix
   A(i,i-1) = -1;
   A(i,i) = 3; 
   A(i,i+1) = -1; 
*/
void generate_sparse_matrix_problem(int n){
  int i;  /* row index */ 
  int nz; /* nonzero index */
  int nnz = 2 + 3*(n-2) + 2; /* number of nonzeros*/
  int *Ti; /* row indices */ 
  int *Tj; /* col indices */ 
  double *Tx; /* values */ 

  /* Allocate memory for triplet form */
  Ti = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tj = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Tx = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for compressed sparse column form */
  Ap = malloc(sizeof(int)*(n+1));
  Ai = malloc(sizeof(int)*nnz);
  Ax = malloc(sizeof(double)*nnz);

  /* Allocate memory for rhs and solution vector */
  x = malloc(sizeof(double)*n);
  b = malloc(sizeof(double)*n);

  /* Construct the matrix A*/
  nz = 0;
  for (i = 0; i < n; i++){
    if (i > 0){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i-1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }

    Ti[nz] = i;
    Tj[nz] = i;
    Tx[nz] = 3;
    nz++;

    if (i < n-1){
      Ti[nz] = i;
      Tj[nz] = i+1;
      Tx[nz] = -1;
      nz++;
    }
    b[i] = 0;
  }
  b[0] = 21; b[1] = 1; b[2] = 17;
  /* Convert Triplet to Compressed Sparse Column format */
  (void) umfpack_di_triplet_to_col(n,n,nnz,Ti,Tj,Tx,Ap,Ai,Ax,NULL);

  /* free triplet format */ 
  free(Ti); free(Tj); free(Tx);
}


int main (void)
{
    double *null = (double *) NULL ;
    int i, n;
    void *Symbolic, *Numeric ;
    n = 500000;
    generate_sparse_matrix_problem(n);
    (void) umfpack_di_symbolic (n, n, Ap, Ai, Ax, &Symbolic, null, null);
    (void) umfpack_di_numeric (Ap, Ai, Ax, Symbolic, &Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_symbolic (&Symbolic);
    (void) umfpack_di_solve (UMFPACK_A, Ap, Ai, Ax, x, b, Numeric, null, null);
    umfpack_di_free_numeric (&Numeric);
    for (i = 0 ; i < 10 ; i++) printf ("x [%d] = %g\n", i, x [i]);
    free(b); free(x); free(Ax); free(Ai); free(Ap);
    return (0);
}

函数generate_sparse_matrix_problem 创建矩阵A 和 右侧b。矩阵首先以三元组形式构造。这 向量 Ti、Tj 和 Tx 完全描述了 A。三元组形式很容易创建，但 高效的稀疏矩阵方法需要压缩稀疏列格式。转换 使用umfpack_di_triplet_to_col 执行。

使用umfpack_di_symbolic 执行符号分解。稀疏的 A 的 LU 分解是用 umfpack_di_numeric 执行的。 使用umfpack_di_solve 执行下三角和上三角求解。

n 为 500,000，在我的机器上，整个程序运行大约需要一秒钟。 Valgrind 报告说分配了 369,239,649 字节（略多于 352 MB）。

注意page 讨论了 Boost 在 Triplet（坐标）中对稀疏矩阵的支持 和压缩格式。如果你喜欢，你可以编写例程来转换这些 boost 对象 到简单数组UMFPACK 需要作为输入。

Answer 2

假设你的大矩阵是稀疏的，我希望它们是这样的大小，看看PARDISO 项目，它是一个稀疏线性求解器，如果你想处理这么大的矩阵，这就是你所需要的如你所说。只允许有效存储非零值，并且比求解相同的密集矩阵系统要快得多。

Answer 3

我假设您的矩阵是密集的。如果它是稀疏的，您可以找到DeusAduro 和duffymo 已经提到的许多专用算法。

如果您没有（足够大的）集群可供您使用，则需要查看核外算法。 ScaLAPACK 有一些核外求解器作为其 prototype package 的一部分，有关更多详细信息，请参阅文档 here 和 Google。在网络上搜索“核外 LU /（矩阵）求解器 / 包”将为您提供更多算法和工具的链接。我不是这方面的专家。

但是，对于这个问题，大多数人会使用集群。您在几乎任何集群上都可以找到的软件包是 ScaLAPACK。此外，典型集群上通常还有许多其他包，因此您可以选择适合您问题的包（例如here 和here）。

在开始编码之前，您可能想快速检查解决问题需要多长时间。一个典型的求解器大约需要 O(3*N^3) 次翻转（N 是矩阵的维数）。如果 N = 100000，那么您将看到 3000000 Gflops。假设您的内存求解器每个内核执行 10 Gflops/s，那么您在单个内核上查看 3 1/2 天。随着算法的良好扩展，增加内核数量应该会减少接近线性的时间。最重要的是 I/O。

Answer 4

不确定 C++ 实现，但如果内存是一个问题，取决于您处理的矩阵类型，您可以做几件事：

1. 如果您的矩阵是稀疏或带状的，您可以使用稀疏或带宽求解器。它们不会在带外存储零元素。
2. 您可以使用波前求解器，它将矩阵存储在磁盘上，并且只引入矩阵波前进行分解。
3. 您可以完全避免求解矩阵并使用迭代方法。
4. 您可以尝试蒙特卡罗解决方案。

Answer 5

查看由 Jack Dongarra 和 Hatem Ltaief 编写的 list of freely available software for the solution of linear algebra problems。

我认为对于您正在查看的问题规模，您可能需要一个迭代算法。如果您不想以稀疏格式存储矩阵 A，则可以使用无矩阵实现。迭代算法通常不需要访问矩阵 A 的各个条目，它们只需要计算矩阵向量乘积 Av（有时是 A^T v，转置矩阵与向量的乘积）。因此，如果该库设计得很好，那么如果您向它传递一个知道如何进行矩阵向量乘积的类就足够了。

Answer 6

正如公认的答案所暗示的那样，有 UMFPACK。但是如果您使用 BOOST，您仍然可以使用 BOOST 中的紧凑矩阵并使用 UMFPACK 来求解系统。有一个绑定使它变得容易：

http://mathema.tician.de/software/boost-numeric-bindings

它大约有两年的历史，但它只是一个绑定（连同其他一些）。

查看相关问题： UMFPACK and BOOST's uBLAS Sparse Matrix