MatLab中的QR分解答案

【问题标题】：QR decomposition in MatLabMatLab中的QR分解
【发布时间】：2013-10-14 13:34:32
【问题描述】：

我有以下问题。

我的任务是为数据拟合多项式。我想使用 Gram-Schimdt 正交化过程来实现 QR 算法。它内置在这个函数中：

function [ Q,R ] = QRDec( A )
n = length(A(1,:));
for i=1:n
    Q(:,i) = A(:,i);
    for j=1:i-1
        R(j,i) = (Q(:,j)')*Q(:,i);
        Q(:,i) = Q(:,i)-R(j,i)*Q(:,j);
    end
    R(i,i) = norm(Q(:,i),2);
    if R(i,i) == 0
        break;
    end
    Q(:,i)=Q(:,i)/R(i,i);
end
end

矩阵 Q,R 与在 MatLab 函数中实现的这些 Q,R 几乎相同。唯一的区别是符号。如果我用 MatLab 函数求解我的方程组 R*x=Q*y，我会得到精确解。但是如果我使用我自己的矩阵 Q 和 R，那么我会得到错误的结果。谁能告诉我我的方法的问题在哪里？我还附上了我的脚本代码。

% clear variables
clear; clc;
N = 100;
p = ones(1,15);
d = 14;
x = linspace(0,1,N)';
y = polyval(p,x);
A = zeros(N,d+1);
for i = 1 : d+1
    A(:,i) = x.^(i-1);
end
[Qm,Rm] = QRDec(A);
[Q,R] = qr(A,0);
a_qrm = Rm\(Qm'*y);
a_qr = R\(Q'*y);
end

你认为这么大的错误会是计算错误造成的吗？我真的很绝望，因为我似乎有两个相同的线性方程组，并且解决方案不同。

【问题讨论】：

会不会是您的分解与非方形矩阵作斗争？如果我在the example from the Wikipedia entry 上运行你的代码，我会得到正确的结果。那是一个3x3 矩阵。但是，在您的情况下，size(A) 给出了100x15。
MatLab 计算这样的线性方程组系统更加“困难”。但是我仍然不知道为什么 MatLabs Q,R 矩阵给出了正确的解决方案，而我的矩阵 Q,R（尽管它们或多或少与以前的相同）给出了损坏的系数。我只是不清楚。

标签： matlab qr-decomposition

【解决方案1】：

您实现的格拉姆-施密特过程是numerically unstable。事实上，你用Matlab计算的Q和Qm是不一样的。而且你的矩阵是病态的，它的条件数是> 10 ^ 10。

这会导致小错误被放大，并可以解释您看到的效果。

【讨论】：