我知道两个信号卷积的傅里叶变换是它们的傅里叶变换的逐点乘积 (convolutional theorem)。我想知道的是，在已知情况下，卷积可以有意义地应用于频域中的傅立叶变换信号（例如时间序列或图像），以充当滤波器，而不是乘以方阵。此外，是否存在增加时域大小的滤波器的已知应用，即频域中的矩阵是矩形的，然后应用逆 FT 回到时域？特别是，我对这种深度学习方法的已知示例感兴趣。
【问题讨论】：
标签： deep-learning filtering fft convolution
正如您所说，两个信号的卷积是它们傅里叶变换的逐点乘积。这在两个方向上都是正确的——两个傅里叶变换信号的卷积等于两个时间序列的逐点乘积。
您必须适当地定义“卷积” - 对于离散傅里叶变换，卷积是循环卷积。
在时域中进行逐点块乘法肯定有有意义的用途（例如，在转换到频域之前将数据窗口应用于信号，或调制载波），因此您可以说它是有意义的在频域中进行卷积。但与仅在时域中进行操作相比，它不太可能高效。
请注意，多年来在优化傅里叶变换方面付出了很多努力，这正是因为在频域中进行块乘法（它是 O(n)）比在时域（即 O(n^2)）。由于傅立叶变换为 O(n log(n))，因此 forwardTransform-blockMultiply-inverseTransform 的组合通常比进行卷积更快。在另一个方向上仍然如此，因此如果您从频率数据开始，则 inverseTransform-blockMultiply-forwardTransform 通常比在频域中进行卷积更快。当然，通常你已经在某处拥有原始时间数据，因此时域中的块相乘会更快。
不幸的是，我不知道有哪些应用程序会在我的脑海中增加时域的大小。而且我对深度学习一无所知，所以在这方面我帮不了你。
【讨论】：