Python：找到非线性方程的多个根答案

【问题标题】：Python: Finding multiple roots of nonlinear equationPython：找到非线性方程的多个根
【发布时间】：2012-10-14 19:41:14
【问题描述】：

假设如下函数：

f(x) = x * cos(x-4)

对于x = [-2.5, 2.5]，此函数在f(0) = 0 和f(-0.71238898) = 0 处交叉0。

这是通过以下代码确定的：

import math
from scipy.optimize import fsolve
def func(x):
    return x*math.cos(x-4)
x0 = fsolve(func, 0.0)
# returns [0.]
x0 = fsolve(func, -0.75)
# returns [-0.71238898]

使用fzero（或任何其他 Python 根查找器）在一次调用中找到两个根的正确方法是什么？是否有其他 scipy 函数可以执行此操作？

fzero reference

【问题讨论】：

也许我的数学很模糊，但f(0) = 2 不在那里吗？
@mayhewr。看起来你的数学不是那么模糊。 ;)
@strimp099：f(x) 与 func(x) 完全不同。那你想解决哪一个？
对不起，很草率。更新 f(x)
Scipy 邮件列表中的这一系列消息可能是相关的：mail.scipy.org/pipermail/scipy-user/2007-September/013870.html

标签： python optimization scipy

【解决方案1】：

我曾经为这个任务写过一个模块。它基于Numerical Methods in Engineering with Python by Jaan Kiusalaas一书中的第4.3章：

import math

def rootsearch(f,a,b,dx):
    x1 = a; f1 = f(a)
    x2 = a + dx; f2 = f(x2)
    while f1*f2 > 0.0:
        if x1 >= b:
            return None,None
        x1 = x2; f1 = f2
        x2 = x1 + dx; f2 = f(x2)
    return x1,x2

def bisect(f,x1,x2,switch=0,epsilon=1.0e-9):
    f1 = f(x1)
    if f1 == 0.0:
        return x1
    f2 = f(x2)
    if f2 == 0.0:
        return x2
    if f1*f2 > 0.0:
        print('Root is not bracketed')
        return None
    n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - x1)/epsilon)/math.log(2.0)))
    for i in range(n):
        x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3)
        if (switch == 1) and (abs(f3) >abs(f1)) and (abs(f3) > abs(f2)):
            return None
        if f3 == 0.0:
            return x3
        if f2*f3 < 0.0:
            x1 = x3
            f1 = f3
        else:
            x2 =x3
            f2 = f3
    return (x1 + x2)/2.0

def roots(f, a, b, eps=1e-6):
    print ('The roots on the interval [%f, %f] are:' % (a,b))
    while 1:
        x1,x2 = rootsearch(f,a,b,eps)
        if x1 != None:
            a = x2
            root = bisect(f,x1,x2,1)
            if root != None:
                pass
                print (round(root,-int(math.log(eps, 10))))
        else:
            print ('\nDone')
            break

f=lambda x:x*math.cos(x-4)
roots(f, -3, 3)

roots 在区间 [a, b] 中查找 f 的所有根。

【讨论】：

感谢脚本。在 python 版本 2.x math.ceil 返回一个浮点数，所以你需要将 n 转换为 int(n)
@NicorLengert 感谢您的提及。我编辑了答案
@halex 你是我的英雄

【解决方案2】：

定义您的函数，使其可以将标量或 numpy 数组作为参数：

>>> import numpy as np
>>> f = lambda x : x * np.cos(x-4)

然后将参数向量传递给fsolve。

>>> x = np.array([0.0, -0.75])
>>> fsolve(f,x)
array([ 0.        , -0.71238898])

【讨论】：

如果我们愿意，在这种情况下你如何传递雅可比？只需将jac=jac 与分析雅可比传递给TypeError: Shape mismatch。

【解决方案3】：

通常（即除非您的函数属于某个特定类）您无法找到所有全局解决方案 - 这些方法通常从给定起点进行局部优化。

但是，您可以将 math.cos() 与 numpy.cos() 切换，这将使您的函数矢量化，以便它可以一次求解多个值，例如fsolve(func, np.arange(-10,10,0.5)).

【讨论】：

如果你的函数属于一个特定的类，那就是：openopt.org/interalg