用整数算术计算第 N 个根

Question

有几种方法可以仅使用整数算术来找到整数平方根。例如this one。它使阅读变得有趣，同时也是一个非常有趣的理论，特别是对于我这一代，这些技术不再那么有用了。

主要是它不能使用浮点运算，因此排除了牛顿方法及其推导。我知道的唯一另一种求根的方法是二项式展开，但这也需要浮点运算。

有哪些技术/算法可以仅使用整数算术来计算整数 n 次根？

编辑：感谢到目前为止的所有答案。他们似乎都在进行稍微聪明的试验和改进。有没有更好的办法？

Edit2：好的，所以如果没有试验/改进以及牛顿法或二进制搜索，似乎没有聪明的方法可以做到这一点。谁能提供两者的比较理论上？我在两者之间运行了许多基准测试，发现它们非常相似。

Answer 1

我在 Excel 中的 VBA 中制作了算法。目前它只计算整数的根。实现小数也很容易。

只需将代码复制并粘贴到 EXCEL 模块中，然后在某个单元格中输入函数名称，并传递参数。

Public Function RootShift(ByVal radicand As Double, degree As Long, Optional ByRef remainder As Double = 0) As Double

   Dim fullRadicand As String, partialRadicand As String, missingZeroes As Long, digit As Long

   Dim minimalPotency As Double, minimalRemainder As Double, potency As Double

   radicand = Int(radicand)

   degree = Abs(degree)

   fullRadicand = CStr(radicand)

   missingZeroes = degree - Len(fullRadicand) Mod degree

   If missingZeroes < degree Then

      fullRadicand = String(missingZeroes, "0") + fullRadicand

   End If

   remainder = 0

   RootShift = 0

   Do While fullRadicand <> ""

      partialRadicand = Left(fullRadicand, degree)

      fullRadicand = Mid(fullRadicand, degree + 1)

      minimalPotency = (RootShift * 10) ^ degree

      minimalRemainder = remainder * 10 ^ degree + Val(partialRadicand)

      For digit = 9 To 0 Step -1

          potency = (RootShift * 10 + digit) ^ degree - minimalPotency

          If potency <= minimalRemainder Then

             Exit For

          End If

      Next

      RootShift = RootShift * 10 + digit

      remainder = minimalRemainder - potency

   Loop

End Function

Answer 2

VBA 中的算法更简单。

Public Function RootNth(radicand As Double, degree As Long) As Double
   Dim countDigits As Long, digit As Long, potency As Double
   Dim minDigit As Long, maxDigit As Long, partialRadicand As String
   Dim totalRadicand As String, remainder As Double

  radicand = Int(radicand)
  degree = Abs(degree)
  RootNth = 0
  partialRadicand = ""
  totalRadicand = CStr(radicand)
  countDigits = Len(totalRadicand) Mod degree
  countDigits = IIf(countDigits = 0, degree, countDigits)
  Do While totalRadicand <> ""
     partialRadicand = partialRadicand + Left(totalRadicand, countDigits)
     totalRadicand = Mid(totalRadicand, countDigits + 1)
     countDigits = degree
     minDigit = 0
     maxDigit = 9
     Do While minDigit <= maxDigit
        digit = Int((minDigit + maxDigit) / 2)
        potency = (RootNth * 10 + digit) ^ degree
        If potency = Val(partialRadicand) Then
           maxDigit = digit
           Exit Do
        End If
        If potency < Val(partialRadicand) Then
           minDigit = digit + 1
        Else
           maxDigit = digit - 1
        End If
     Loop
     RootNth = RootNth * 10 + maxDigit
  Loop
   End Function

Answer 3

在我看来，Shifting nth root algorithm 提供的正是您想要的：

移位第 n 根算法是一种用于提取正实数的第 n 根的算法，该算法通过将根数的 n 位从最高有效位开始移位迭代地进行，并在每次迭代中产生一位根，以类似于长除法的方式。

链接的维基百科页面上有工作示例。

Answer 4

一个简单的解决方案是使用二分搜索。

假设我们正在寻找 x 的第 n 个根。

Function GetRange(x,n):
    y=1
    While y^n < x:
        y*2
    return (y/2,y)

Function BinSearch(a,b,x,):
    if a == b+1:
        if x-a^n < b^n - x:
           return a
        else:
           return b
    c = (a+b)/2
    if n< c^n:
        return BinSearch(a,c,x,n)
    else:
        return BinSearch(c,b,x,n)

a,b = GetRange(x,n)
print BinSearch(a,b,x,n)

===更快的版本===

Function BinSearch(a,b,x,):
    w1 = x-a^n
    w2 = b^n - x
    if a <= b+1:
        if w1 < w2:
           return a
        else:
           return b
    c = (w2*a+w1*b)/(w1+w2)
    if n< c^n:
        return BinSearch(a,c,x,n)
    else:
        return BinSearch(c,b,x,n)

Answer 5

一种明显的方法是将binary search 与exponentiation by squaring 一起使用。这将允许您在O(log (x + n)) 中找到nthRoot(x, n)：在[0, x] 中对最大整数k 进行二进制搜索，例如k^n <= x。对于某些k，如果k^n <= x，则将搜索缩减为[k + 1, x]，否则将其缩减为[0, k]。

您需要更智能或更快的东西吗？

Answer 6

您可以只使用整数运算来使用牛顿法，步骤与浮点运算相同，只是您必须将浮点运算符替换为具有不同运算符的语言中相应的整数运算符。

假设您要找到a > 0 的第k 个整数根，它应该是最大整数r 使得r^k <= a。您可以从任何正整数开始（当然，一个好的起点会有所帮助）。

int_type step(int_type k, int_type a, int_type x) {
    return ((k-1)*x + a/x^(k-1))/k;
}

int_type root(int_type k, int_type a) {
    int_type x = 1, y = step(k,a,x);
    do {
        x = y;
        y = step(k,a,x);
    }while(y < x);
    return x;
}

除了第一步，你有x == r <==> step(k,a,x) >= x。