Prim算法得到的图的最小生成树

【问题标题】：Minimum spanning tree of graph obtained by Prim's algorithmPrim算法得到的图的最小生成树
【发布时间】：2014-11-13 17:35:40
【问题描述】：

我需要一些关于 Prim 算法问题的帮助：

设 T 为 Prim 算法得到的图 G 的最小生成树。设 Gnew 是通过向 G 添加一个新顶点和一些带权重的边获得的图，将新顶点连接到 G 中的一些顶点。我们可以通过将一个新边添加到 T 来构造 Gnew 的最小生成树吗？如果您回答是，请说明如何；如果不是，请解释原因。

提前谢谢你！！

【问题讨论】：

【解决方案1】：

我们可以通过添加一个来构造 Gnew 的最小生成树吗？ T 的新边？

没有。一般不会。假设T已经通过考虑顶点的顺序生成v1,v2,...,vn-1

设vn为新顶点，(v1,vn)为加权边（v1是T的根），如果(v1,vn)的权重小于(v1,v2)在T中的权重，这不会不再是 MST。

【讨论】：

【解决方案2】：

并非在所有情况下我们都可以在 T 中添加新边，这取决于新边的权重，因为有时如果新边的权重小于图中的其他权重，旧的 MST(T) 会发生变化

【讨论】：

【解决方案3】：

不，这可能更容易通过反例来形象化：

从上面可以看出，与原始 MST 相比，新 MST 不仅缺少边。它还使用两个顶点而不是一个顶点。

【讨论】：