我正在修改一个测试，遇到了两个与图表中的最小生成树相关的问题，我不确定并想测试我的答案。
第一个问题是：如果一个图有多个最小生成树，Kruskal 和 Prim 的最小生成树算法会生成相同的树吗？我认为它们不一定是因为算法不同。 Kruskal 依赖于边按权重排序，而 Prim 没有，因此它们可以从不同的顶点开始，从而生成不同的树。
第二个问题是：如果一个图有多个最小生成树，那么 Kruskal 的算法应该如何适应来生成所有这些？我认为需要允许通过顶点的循环结构，以便起始顶点每次都更改，因为边值可能相同。因此，通过将每个顶点依次作为起始顶点来生成树。换句话说，也是按顶点编号排序，而不是仅按边权重。
【问题讨论】：
标签： graph
如果一个图有多个最小生成树，Kruskal 和 Prim 的最小生成树算法会生成相同的树吗？
不，Prims 和 Kruskals 算法不必生成相同的 MST。一个图可以有许多 MST，两种算法都可以生成不同的 MST。但是两个 MST 的边缘类型必然相同。即，如果您对两个 MST 的边进行多重集，那么这两个多重集肯定是相等的。你可以找到一个证明here
如果一个图有多个最小生成树，应该如何调整 Kruskal 的算法来生成所有这些？
似乎没有直接减少 kruskal 的 MST 算法来查找图中的所有 MST。你最好的选择是
第 1 步：按照 kruskals 中的方式对图的边进行排序。
Step2：现在对于排序列表中的每条边，可能会发生两件事。边要么在 MST 中，要么不在。因此，对于排序列表中的每条边，我们将遍历这两种情况，并创建两个新的 Union-Find 数据结构并在其他边上递归。
伪代码：
Step1: sort edges in ascending order
Step2: now call printAllMsts(0, new UnionFind(V))
void printAllMsts(int edgeNum, UnionFind U){
if(edgeNum == edges.length){ // If no more edges to add
if(U.numEdges == V-1){ // If U has V-1 edges, then we have an MST
printMst();
}
return;
}
if(edges[edgeNum+1] == edges[edgeNum]){
printAllMsts(edgeNum+1, U); // when E is not taken in the MST
}
edge E = edges[edgeNum];
If(E can be a part of some MST){
UnionFind newU = new UnionFind(U);
newU.add(E);
}
printAllMsts(edgeNum+1, newU);
}
算法的运行时间将取决于图中边的数量和类型。该问题的最坏情况输入将是图中所有边的长度相同时。运行时间至少为 O(V*numberOfMsts)，因为只要可能存在不同的 MST，就会克隆当前的 Union-Find 数据结构，这需要 O(V) 时间。
【讨论】：